Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD), SA = a căn 2
822
07/12/2023
Luyện tập 3 trang 58 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a√2.
a) Tính khoảng cách từ A đến SC.
b) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC).
c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa BD và SC.

Trả lời

a) Hạ AH ⊥ SC tại H. Khi đó d(A, SC) = AH.
Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC = √AB2+BC2=√a2+a2=a√2.
Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC.
Xét tam giác SAC vuông tại A, AH là đường cao, ta có:
1AH2=1SA2+1AC2=12a2+12a2=1a2⇒ AH = a.
Vậy d(A, SC) = a.
b) Do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.
Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD mà AC ⊥ BD nên BD ⊥ (SAC).
c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, BD.
Kẻ OK ⊥ SC tại K.
Vì BD ⊥ (SAC) nên BD ⊥ OK mà OK ⊥ SC nên OK là đường vuông góc chung của BD và SC.
Xét tam giác CHA có O là trung điểm của AC và OK // AH (vì cùng vuông góc với SC) nên K là trung điểm của CH. Do đó OK là đường trung bình của tam giác CHA nên OK = AH2=a2 .
Vậy d(BD, SC) = a2 .
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: