Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là một tam giác đều

Bài 7.22 trang 59 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là một tam giác đều và (SAD) $\perp$ (ABCD).

a) Tính chiều cao của hình chóp.

b) Tính khoảng cách giữa BC và (SAD).

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AB và SD.

Trả lời

a) Kẻ SE $\perp$ AD tại E.

Vì (SAD) $\perp$ (ABCD), (SAD) $\cap$ (ABCD) = AD mà SE $\perp$ AD nên SE $\perp$ (ABCD).

Vì tam giác SAD là tam giác đều cạnh a nên SE = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy chiều cao của hình chóp bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

b) Vì ABCD là hình vuông nên BC // AD, suy ra BC // (SAD).

Khi đó d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD)).

Vì ABCD là hình vuông nên AB $\perp$ AD mà SE $\perp$ (ABCD) nên SE $\perp$ AB.

Vì AB $\perp$ AD và SE $\perp$ AB nên AB $\perp$ (SAD).

Do đó d(BC, (SAD)) = d(B, (SAD)) = AB = a.

c) Kẻ AF $\perp$ SD tại F, mà AB $\perp$ (SAD) nên AB $\perp$ AF.

Vì AF $\perp$ SD và AB $\perp$ AF nên AF là đường vuông góc chung của AB và SD.

Vì tam giác SAD đều có AF là đường cao nên AF = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vậy d(AB, SD) = AF = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: