Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách

Bài 7.27 trang 37 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách:

a) Giữa hai đường thẳng AB và C'D'.

b) Giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (A'B'C'D').

c) Từ điểm A đến đường thẳng B'D'.

d) Giữa hai đường thẳng AC và B'D'.

Trả lời

a) Do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương nên các mặt là hình vuông.

Vì ABCD là hình vuông nên AB $\perp$ BC mà AB $\perp$ BB' (do BB' $\perp$ (ABCD)), từ đó suy ra AB $\perp$ (BCC'B'), suy ra BC' $\perp$ AB.

Vì A'B'C'D' là hình vuông nên C'D' $\perp$ B'C' mà CC' $\perp$ C'D' (do CC' $\perp$ (A'B'C'D')) nên C'D' $\perp$ (BCC'B'), suy ra BC' $\perp$ C'D'.

Xét tam giác BB'C' vuông tại B', có BC' = $\sqrt{BB{\text{'}}^2+B\text{'}C{\text{'}}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Vì BC' $\perp$ AB và BC' $\perp$ C'D' nên d(AB, C'D') = BC' = $a\sqrt{2}$.

b) Ta có AA' // CC' và AA' = CC' (do AA'; CC' cùng song song và bằng BB').

Do đó ACC'A' là hình bình hành, suy ra AC // A'C'. Do đó AC // (A'B'C'D').

Vì AC // (A'B'C'D') nên d(AC, (A'B'C'D')) = d(A, (A'B'C'D')) = AA' = a.

c) Gọi O' là giao điểm của A'C' và B'D'.

Vì AA' $\perp$ (A'B'C'D') nên AA' $\perp$ B'D'.

Vì A'B'C'D' là hình vuông nên A'C' $\perp$ B'D' mà AA' $\perp$ B'D' nên B'D' $\perp$ (AA'C'C), suy ra AO' $\perp$ B'D'.

Xét tam giác A'B'C' vuông tại B', có: A'C' = $\sqrt{A\text{'}B{\text{'}}^2+B\text{'}C{\text{'}}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Do A'B'C'D' là hình vuông và O' là giao điểm của A'C' và B'D' nên O' là trung điểm của A'C'. Do đó A'O' = $\frac{A\text{'}C\text{'}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Xét tam giác AA'O' vuông tại A', có AO' = $\sqrt{AA{\text{'}}^2+A\text{'}O{\text{'}}^2}=\sqrt{a^2+\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Vì AO' $\perp$ B'D' nên d(A, B'D') = AO' = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

d) Vì AC // A'C' nên AC // ((A'B'C'D')) mà B'D' $\subset$ (A'B'C'D').

Do đó d(AC, B'D') = d(AC, (A'B'C'D')) = d(A, (A'B'C'D')) = AA' = a.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: