Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = AC = AA' = a

Bài 7.31 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = AC = AA' = a. Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm A đến đường thẳng B'C'.

b) Giữa hai đường thẳng BC và AB'.

Trả lời

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A

a) Hạ AH  B'C' tại H. Khi đó d(A, B'C') = AH.

Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên các mặt bên là hình chữ nhật, do đó AA' = BB' = CC' = a, AB = A'B' = a; AC = A'C' = a, BC = B'C'.

Xét tam giác ABB' vuông tại B, có AB' = AB2+BB'2=a2+a2=a2.

Xét tam giác ACA' vuông tại A, có A'C = AA'2+AC2=a2+a2=a2.

Suy ra AC' = a2.

Xét tam giác ABC vuông tại A, có BC = AB2+AC2=a2+a2=a2.

Suy ra B'C' = a2.

Do đó AB' = AC' = B'C' = a2. Suy ra tam giác AB'C' đều.

Xét tam giác AB'C' đều có AH là đường cao nên AH = AB'32=a232=a62.

Vậy d(A, B'C') = a62.

b) Do BCC'B' là hình chữ nhật nên BC // B'C'.

Suy ra BC // (AB'C') nên d(BC, AB') = d(BC, (AB'C')) = d(C, (AB'C')).

Do ACC'A' là hình chữ nhật nên CA' cắt AC' tại trung điểm của CA' do đó

d(C, (AB'C')) = d(A', (AB'C')).

Đặt d(A', (AB'C')) = h. Áp dụng kết quả bài 7.7 trang 28 SBT Toán 11 tập 2, ta có:

1h2=1A'A2+1A'B'2+1A'C'2=1a2+1a2+1a2=3a2h=a33.

Vậy d(BC, AB') = a33.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả