Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = AC = AA' = a

Bài 7.31 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = AC = AA' = a. Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm A đến đường thẳng B'C'.

b) Giữa hai đường thẳng BC và AB'.

Trả lời

a) Hạ AH $\perp$ B'C' tại H. Khi đó d(A, B'C') = AH.

Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên các mặt bên là hình chữ nhật, do đó AA' = BB' = CC' = a, AB = A'B' = a; AC = A'C' = a, BC = B'C'.

Xét tam giác ABB' vuông tại B, có AB' = $\sqrt{A{B}^2+B{B^{\text{'}}}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Xét tam giác ACA' vuông tại A, có A'C = $\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2+A{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Suy ra AC' = a$\sqrt{2}$.

Xét tam giác ABC vuông tại A, có BC = $\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Suy ra B'C' = a$\sqrt{2}$.

Do đó AB' = AC' = B'C' = a$\sqrt{2}$. Suy ra tam giác AB'C' đều.

Xét tam giác AB'C' đều có AH là đường cao nên AH = $\frac{A{B}^{\text{'}}\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Vậy d(A, B'C') = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

b) Do BCC'B' là hình chữ nhật nên BC // B'C'.

Suy ra BC // (AB'C') nên d(BC, AB') = d(BC, (AB'C')) = d(C, (AB'C')).

Do ACC'A' là hình chữ nhật nên CA' cắt AC' tại trung điểm của CA' do đó

d(C, (AB'C')) = d(A', (AB'C')).

Đặt d(A', (AB'C')) = h. Áp dụng kết quả bài 7.7 trang 28 SBT Toán 11 tập 2, ta có:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{A^{\text{'}}{A}^2}+\frac{1}{A^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{A^{\text{'}}{C^{\text{'}}}^2}$$=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}$$\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Vậy d(BC, AB') = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: