Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = a căn 2, AA' = a căn 3. Tính theo a khoảng cách

Bài 7.30 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = a$\sqrt{2}$, AA' = a$\sqrt{3}$. Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm A đến mặt phẳng (BDD'B').

b) Giữa hai đường thẳng BD và CD'.

Trả lời

a) Kẻ AH $\perp$ BD tại H.

Do D'D $\perp$ (ABCD) nên D'D $\perp$ AH mà AH $\perp$ BD, suy ra AH $\perp$ (BDD'B').

Suy ra d(A, (BDD'B')) = AH.

Xét tam giác ADB vuông tại A, có $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{D}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{3}{2a^2}$

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Vậy d(A, (BDD'B')) = $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

b) Có BC // A'D' và BC = A'D' (do BC, A'D' cùng song song và bằng AD).

Do đó BCD'A' là hình bình hành, suy ra CD' // BA', suy ra CD' // (A'BD).

Ta có CD' // (A'BD) nên d(BD, CD') = d(CD', (A'BD)) = d(C, (A'BD)).

Do ABCD là hình chữ nhật nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm của AC nên

d(C, (A'BD)) = d(A, (A'BD)).

Kẻ AK $\perp$ A'H tại K.

Vì AA' $\perp$ (ABCD) nên A'A $\perp$ BD mà AH $\perp$ BD nên BD $\perp$ (A'AH), suy ra BD $\perp$ AK.

Vì BD $\perp$ AK và AK $\perp$ A'H nên AK $\perp$ (A'BD). Suy ra d(A, (A'BD)) = AK.

Vì AA' $\perp$ (ABCD) nên AA' $\perp$ AH.

Xét tam giác A'AH vuông tại A, có $\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{A{A^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{9}{6a^2}=\frac{11}{6a^2}$

$\Rightarrow AK=\frac{a\sqrt{66}}{11}$. Vậy d(BD, CD') = $\frac{a\sqrt{66}}{11}$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: