Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = a căn 2, AA' = a căn 3. Tính theo a khoảng cách
378
20/11/2023
Bài 7.30 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = a√2, AA' = a√3. Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm A đến mặt phẳng (BDD'B').
b) Giữa hai đường thẳng BD và CD'.
Trả lời

a) Kẻ AH ⊥ BD tại H.
Do D'D ⊥ (ABCD) nên D'D ⊥ AH mà AH ⊥ BD, suy ra AH ⊥ (BDD'B').
Suy ra d(A, (BDD'B')) = AH.
Xét tam giác ADB vuông tại A, có 1AH2=1AD2+1AB2=12a2+1a2=32a2
⇒AH=a√63. Vậy d(A, (BDD'B')) = a√63.
b) Có BC // A'D' và BC = A'D' (do BC, A'D' cùng song song và bằng AD).
Do đó BCD'A' là hình bình hành, suy ra CD' // BA', suy ra CD' // (A'BD).
Ta có CD' // (A'BD) nên d(BD, CD') = d(CD', (A'BD)) = d(C, (A'BD)).
Do ABCD là hình chữ nhật nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm của AC nên
d(C, (A'BD)) = d(A, (A'BD)).
Kẻ AK ⊥ A'H tại K.
Vì AA' ⊥ (ABCD) nên A'A ⊥ BD mà AH ⊥ BD nên BD ⊥ (A'AH), suy ra BD ⊥ AK.
Vì BD ⊥ AK và AK ⊥ A'H nên AK ⊥ (A'BD). Suy ra d(A, (A'BD)) = AK.
Vì AA' ⊥ (ABCD) nên AA' ⊥ AH.
Xét tam giác A'AH vuông tại A, có 1AK2=1AA'
. Vậy d(BD, CD') = .
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: