Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a, SA vuông góc với (ABC) và SA = 2a
722
20/11/2023
Bài 7.28 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng a, SA ⊥ (ABC) và SA = 2a. Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).
b) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
c) Giữa hai đường thẳng AB và SC.
Trả lời

a) Kẻ BH ⊥ AC tại H.
Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BH mà BH ⊥ AC. Suy ra, BH ⊥ (SAC).
Vì ABC là tam giác đều cạnh a có BH là đường cao nên BH = a√32.
Do đó d(B, (SAC)) = BH = a√32.
b) Kẻ AM ⊥ BC tại M, AK ⊥ SM tại K
Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC mà AM ⊥ BC nên BC ⊥ (SAM), suy ra BC ⊥ AK.
Vì AK ⊥ SM và BC ⊥ AK thì AK ⊥ (SBC).
Suy ra d(A, (SBC)) = AK.
Tam giác ABC đều cạnh bằng a có AM là đường cao nên AM = a√32.
Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AM.
Xét tam giác SAM vuông tại A, có 1AK2=1SA2+1AM2=14a2+43a2=1912a2 ⇒AK = 2a√319. Vậy d(A, (SBC)) = 2a√319.
c) Dựng hình bình hành ABCD thì AB // CD nên AB // (SCD) và mặt phẳng (SCD) chứa SC nên d(AB, SC) = d(AB, (SCD)). Mà d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).
Kẻ AN ⊥ DC tại N, kẻ AQ ⊥ SN tại Q
Vì ADC là tam giác đều, AN là đường cao nên AN = a√32.
Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ (ABCD), suy ra SA ⊥ DC mà AN ⊥ DC nên DC ⊥ (SAN).
Vì DC ⊥ (SAN) nên DC ⊥ AQ mà AQ ⊥ SN nên AQ ⊥ (SDC).
Khi đó d(A, (SCD)) = AQ.
Xét tam giác SAN vuông tại A, có 1AQ2=1SA2+1AN2=14a2+43a2=1912a2
⇒AQ=2a√319. Vậy d(AB, SC) = 2a√319 .
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: