Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 60°, biết tam giác SBC đều

Bài 7.29 trang 38 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 60°, biết tam giác SBC đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm S đến mặt phẳng (ABC).

b) Từ điểm B đến mặt phẳng (SAC).

c) Giữa hai đường thẳng AB và SC.

Trả lời

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, góc ABC bằng 60 độ

a) Kẻ SH  BC tại H. Do (SBC)  (ABC) và (SBC)  (ABC) = BC nên SH  (ABC). Suy ra d(S, (ABC)) = SH.

Vì tam giác SBC là tam giác đều cạnh a, SH là đường cao nên SH = a32.

Vậy d(S, (ABC)) = a32.

b) Do tam giác SBC đều và SH  BC nên SH đồng thời là trung tuyến hay H là trung điểm của BC.

Kẻ HK  CA tại K mà SH  AC (do SH  (ABC)). Suy ra AC  (SHK).

Kẻ HQ  SK tại Q mà AC  HQ (do AC  (SHK)). Do đó HQ  (SAC).

Khi đó d(H, (SAC)) = HQ.

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = BC . cos 60° = a2.

Xét tam giác ABC vuông tại A, có HK // AB (vì cùng vuông góc với AC) mà H là trung điểm của BC nên K là trung điểm của AC. Do đó HK là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra HK = AB2=a4.

Xét tam giác SHK vuông tại H, có 1HQ2=1SH2+1HK2=43a2+16a2=523a2.

HQ=39a26.

Lại có H là trung điểm của BC nên d(B, (SAC)) = 2 . d(H, (SAC)) = 2HQ = 39a13.

c) Dựng hình bình hành ABMC mà A^=90° nên ABMC là hình chữ nhật.

Do ABMC là hình chữ nhật nên AB // MC.

Khi đó AB // (SCM) và mặt phẳng (SCM) chứa SC nên

d(AB, SC) = d(AB, (SCM)) = d(B, (SCM)) = 2d(H, (SCM)).

Kẻ HN  CM tại N.

Vì SH  (ABC) nên SH  (ABMC), suy ra SH  MC.

Vì SH  MC và HN  CM nên CM  (SHN).

Kẻ HE  SN tại E.

Vì CM  (SHN) nên CM  HE mà HE  SN nên HE  (SCM).

Suy ra d(H, (SCM)) = HE.

Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, có AC = BC . sin 60° = a32.

Xét tam giác BCM có HN là đường trung bình nên HN = BM2=AC2=a34.

Xét tam giác SHN vuông tại H, có 1HE2=1SH2+1HN2=43a2+163a2=203a2

HE=15a10.

Vậy d(AB, SC) = 2HE =15a5.

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả