Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi cạnh a, AA’ ⊥ (ABCD), AA’ = 2a, AC = a. Tính khoảng cách
85
08/12/2023
Bài 50 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có ABCD là hình thoi cạnh a, AA’ ⊥ (ABCD), AA’ = 2a, AC = a. Tính khoảng cách:
a) Từ điểm A đến mặt phẳng (BCC’B’);
b) Giữa hai mặt phẳng (ABB’A’) và (CDD’C’);
c*) Giữa hai đường thẳng BD và A’C.
Trả lời
a) Gọi H là hình chiếu của A trên BC hay AH ⊥ BC.
Do ABCD.A’B’C’D là hình hộp nên AA’ // BB’.
Mà AA’ ⊥ (ABCD) nên BB’ ⊥ (ABCD).
Hơn nữa AH ⊂ (ABCD).
Từ đó ta có BB’ ⊥ AH.
Ta có: AH ⊥ BC, AH ⊥ BB’, BC ∩ BB’ = B trong (BCC’B’)
Suy ra AH ⊥ (BCC’B’).
Như vậy d(A, (BCC’B’)) = AH.
Xét tam giác ABC đều (do AB = BC = AC = a), AH là đường cao (do AH ⊥ BC)
Suy ra AH là đường trung tuyến nên ta có
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ABH vuông tại H có:
AB2 = AH2 + BH2
Suy ra
Vậy
b) Do ABCD.A’B’C’D là hình hộp nên (ABB’A’) // (CDD’C’).
Như vậy: d((ABB’A’), (CDD’C’)) = d(A, (CDD’C’)).
Gọi I là hình chiếu của A trên CD hay AI ⊥ CD.
Do ABCD.A’B’C’D là hình hộp nên AA’ // DD’.
Mà AA’ ⊥ (ABCD) nên DD’ ⊥ (ABCD).
Hơn nữa AI ⊂ (ABCD).
Từ đó ta có DD’ ⊥ AI.
Ta có: AI ⊥ CD, AI ⊥ DD’, CD ∩ DD’ = D trong (CDD’C’)
Suy ra AI ⊥ (CDD’C’).
Khi đó: d(A, (CDD’C’)) = AI.
Xét tam giác ACD đều (do AC = AD = DC = a), AI là đường cao (do AI ⊥ CD)
Suy ra AI là đường trung tuyến nên ta có
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ADI vuông tại I có:
AD2 = AI2 + DI2
Suy ra
Vậy
c) Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD và
Do AA’ ⊥ (ABCD) và BD ⊂ (ABCD) nên AA’ ⊥ BD.
Ta có: BD ⊥ AA’, BD ⊥ AC, AA’ ∩ AC = A trong (AA’C)
Suy ra BD ⊥ (AA’C).
Gọi E là hình chiếu của O trên A’C hay OE ⊥ A’C.
Lại có: BD ⊥ (AA’C), OE ⊂ (AA’C).
Suy ra BD ⊥ OE.
Mà OE ⊥ A’C.
Từ đó ta có OE là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BD và A’C.
Như vậy: d(BD, A’C) = OE.
Do AA’ ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên AA’ ⊥ AC.
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác A’AC vuông tại A ta có:
A'C2 = A'A2 + AC2
Suy ra
Xét tam giác CEO và tam giác CAA’ có:
chung
Suy ra
Vậy
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện
Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc
Bài 5: Khoảng cách
Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối
Bài tập cuối chương 8