Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, AC cắt BD tại O, SO ⊥ (ABCD), SA = 2a. Tính khoảng cách

Bài 49 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, AC cắt BD tại O, SO ⊥ (ABCD), SA = 2a. Tính khoảng cách:

a) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBD);

b) Giữa hai đường thẳng SO và CD;

c) Từ điểm O đến mặt phẳng (SCD);

d*) Giữa hai đường thẳng AB và SD.

Trả lời

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, AC cắt BD tại O, SO ⊥  (ABCD), SA = 2a

a) Ta có: SO ⊥ (ABCD), AO ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ AO.

Do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD hay AO ⊥ BD.

Ta có: AO ⊥ SO, AO ⊥ DB, SO ∩ BD = O trong (SBD)

Suy ra AO ⊥ (ABCD).

Như vây: d(A, (SBD)) = AO.

Ta có: ABCD là hình vuông cạnh a nên AC=a2.

Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

AO=AC2=a22.

Vậy dA,SBD=a22.

b) Gọi M là hình chiếu của O trên CD hay OM ⊥ CD.

Do SO ⊥ (ABCD), OM ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ OM.

Từ đó ta thấy OM là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SO và CD.

Như vậy: d(SO, CD) = OM.

Xét hình vuông ABCD có: OM ⊥ CD, AD ⊥ CD nên OM // AD.

Xét tam giác ACD có: OM // AD, O là trung điểm của AD.

Suy ra OM là đường trung bình của tam giác ACD nên M là trung điểm của CD

OM=AD2=a2.

Vậy dSO,CD=OM=a2.

c) Gọi H là hình chiếu của O trên SM hay OH ⊥ SM.

Do SO ⊥ (ABCD), CD ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ CD.

Ta có: CD ⊥ OM, CD ⊥ SO, SO ∩ OM = O trong (SOM)

Suy ra CD ⊥ (SOM).

Mà OH ⊂ (SOM) nên CD ⊥ OH.

Ta có: OH ⊥ SM, OH ⊥ CD, SM ∩ CD = M trong (SCD)

Suy ra OH ⊥ (SCD).

Như vậy: d(O, (SCD)) = OH.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác SAO vuông tại O có:

SO2 = SA2 – AO2

SO2=2a2a222=7a22.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SOM vuông tại O, đường cao OH ta có:

1OH2=1SO2+1OM2=27a2+4a2=307a2

OH=a21030.

Vậy dO,SCD=a21030.

d*) Ta có: AB // CD (do ABCD là hình vuông), CD ⊂ (SCD) nên AB // (SCD).

Do đó d(AB, SD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).

Gọi K là hình chiếu của A trên (SCD) hay AK ⊥ (SCD).

Khi đó d(A, (SCD)) = AK.

Ta có: H, K lần lượt là hình chiếu của O và A trên (SCD)

Mà C, O, A thẳng hàng nên C, H, K thẳng hàng.

Lại có: OH ⊥ (SCD), AK ⊥ (SCD).

Suy ra OH // AK.

Tam giác ACK có OH // AK, nên theo hệ quả định lí Thalès ta có:

OHAK=OCAC=12 (do O là trung điểm của AC)

AK=2OH=2.a21030=a21015.

Vậy dAB,SD=dA,SCD=AK=a21015.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 5: Khoảng cách

Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Bài tập cuối chương 8

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả