Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, AC cắt BD tại O, SO ⊥ (ABCD), SA = 2a. Tính khoảng cách

Bài 49 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, AC cắt BD tại O, SO ⊥ (ABCD), SA = 2a. Tính khoảng cách:

a) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBD);

b) Giữa hai đường thẳng SO và CD;

c) Từ điểm O đến mặt phẳng (SCD);

d*) Giữa hai đường thẳng AB và SD.

Trả lời

a) Ta có: SO ⊥ (ABCD), AO ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ AO.

Do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD hay AO ⊥ BD.

Ta có: AO ⊥ SO, AO ⊥ DB, SO ∩ BD = O trong (SBD)

Suy ra AO ⊥ (ABCD).

Như vây: d(A, (SBD)) = AO.

Ta có: ABCD là hình vuông cạnh a nên $AC=a\sqrt{2}.$

Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

$\Rightarrow AO=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Vậy $d\left(A,\left(SBD\right)\right)=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

b) Gọi M là hình chiếu của O trên CD hay OM ⊥ CD.

Do SO ⊥ (ABCD), OM ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ OM.

Từ đó ta thấy OM là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SO và CD.

Như vậy: d(SO, CD) = OM.

Xét hình vuông ABCD có: OM ⊥ CD, AD ⊥ CD nên OM // AD.

Xét tam giác ACD có: OM // AD, O là trung điểm của AD.

Suy ra OM là đường trung bình của tam giác ACD nên M là trung điểm của CD

$\Rightarrow OM=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}.$

Vậy $d\left(SO,CD\right)=OM=\frac{a}{2}.$

c) Gọi H là hình chiếu của O trên SM hay OH ⊥ SM.

Do SO ⊥ (ABCD), CD ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ CD.

Ta có: CD ⊥ OM, CD ⊥ SO, SO ∩ OM = O trong (SOM)

Suy ra CD ⊥ (SOM).

Mà OH ⊂ (SOM) nên CD ⊥ OH.

Ta có: OH ⊥ SM, OH ⊥ CD, SM ∩ CD = M trong (SCD)

Suy ra OH ⊥ (SCD).

Như vậy: d(O, (SCD)) = OH.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác SAO vuông tại O có:

SO² = SA² – AO²

$\Rightarrow S{O}^2={\left(2a\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{7a^2}{2}.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SOM vuông tại O, đường cao OH ta có:

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{M}^2}=\frac{2}{7a^2}+\frac{4}{a^2}=\frac{30}{7a^2}$

$\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{210}}{30}.$

Vậy $d\left(O,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{210}}{30}.$

d*) Ta có: AB // CD (do ABCD là hình vuông), CD ⊂ (SCD) nên AB // (SCD).

Do đó d(AB, SD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).

Gọi K là hình chiếu của A trên (SCD) hay AK ⊥ (SCD).

Khi đó d(A, (SCD)) = AK.

Ta có: H, K lần lượt là hình chiếu của O và A trên (SCD)

Mà C, O, A thẳng hàng nên C, H, K thẳng hàng.

Lại có: OH ⊥ (SCD), AK ⊥ (SCD).

Suy ra OH // AK.

Tam giác ACK có OH // AK, nên theo hệ quả định lí Thalès ta có:

$\frac{OH}{AK}=\frac{OC}{AC}=\frac{1}{2}$ (do O là trung điểm của AC)

$\Rightarrow AK=2OH=2.\frac{a\sqrt{210}}{30}=\frac{a\sqrt{210}}{15}.$

Vậy $d\left(AB,SD\right)=d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AK=\frac{a\sqrt{210}}{15}.$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 5: Khoảng cách

Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Bài tập cuối chương 8