Cho hình hộp ABCD.A’B’C D’. a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D). b) Gọi G1, G2

Bài 1 trang 113 Toán 11 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C D’.

a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D).

b) Gọi G1, G2 lần lượt là giao điểm của BD’ với các mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D). Chứng minh rằng G1, G2 lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB’ và A’C’D.

c) Chứng minh rằng BG1 = G1G2 = D’G2.

Trả lời

a)

Bài 1 trang 113 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’) ( do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp);

           (ABCD) ∩ (ACC’A’) = AC;

           (A’B’C’D’) ∩ (ACC’A’) = A’C’.

Do đó AC // A’C’.

Mà A’C’ ⊂ (A’C’D) nên AC // (A’C’D).

Chứng minh tương tự ta cũng có AB’ // DC’ mà DC’ ⊂ (A’C’D) nên AB’ // (A’C’D).

Ta có: AC // (A’C’D);

          AB’ // (A’C’D);

          AC, AB’ cắt nhau tại điểm A và cùng nằm trong mp(ACB’).

Do đó (ACB’) // (A’C’D).

b)

Bài 1 trang 113 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

• Gọi O là tâm hình bình hành đáy ABCD, I là giao điểm của BD’ và DB’.

Tứ giác BDD’B’ có BB’ // DD’ và BB’ = DD’ nên là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo BD’ và DB’ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.

Trong mp(BDD’B’), BD’ cắt B’O tại G1.

Mà B’O ⊂ (ACB’) nên G1 là giao điểm của BD’ với (ACB’).

Trong mp(BDD’B’), xét BDB’ có hai đường trung tuyến BI, B’O cắt nhau tại G1 nên G1 là trọng tâm của DBDB’

Do đó B'G1BO=23

Trong (ACB’), xét ACB’ có B’O là đường trung tuyến và B'G1BO=23

Suy ra G1 là trọng tâm của ACB’.

• Gọi O’ là tâm hình bình hành đáy A’B’C’D’.

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có: G2 là trọng tâm của DD’B’ nên DG2DO'=23

Trong (A’C’D), A’C’D có DO’ là đường trung tuyến và  DG2DO'=23

Suy ra G2 là trọng tâm của A’C’D.

c) Theo chứng minh câu b, ta có:

• G1 là trọng tâm của BDB’ nên BG1BI=23  và IG1BG1=12

• G2 là trọng tâm của  DD’B’ nên D'G2D'I=23  và IG2D'G2=12

Do đó BG1BI=D'G2D'I=23  và IG1BG1=IG2D'G2=12

Ta có: BG1BI=D'G2D'I và BI = D’I (do I là trung điểm của BD’)

Suy ra BG1 = D’G2.

Lại có IG1BG1=IG2D'G2=12  nên IG1 = IG2 = 12 BG1

Do đó G1G2 = IG1 + IG2 = 12 BG1 + 12 BG1 = BG1.

Vậy BG1 = G1G2 = D’G2.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Bài tập cuối chương 4

 

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả