Cho hình hộp ABCD.A’B’C D’. a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D). b) Gọi G1, G2
2.1k
14/08/2023
Bài 1 trang 113 Toán 11 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C D’.
a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D).
b) Gọi G1, G2 lần lượt là giao điểm của BD’ với các mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D). Chứng minh rằng G1, G2 lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB’ và A’C’D.
c) Chứng minh rằng BG1 = G1G2 = D’G2.
Trả lời
a)
Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’) ( do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp);
(ABCD) ∩ (ACC’A’) = AC;
(A’B’C’D’) ∩ (ACC’A’) = A’C’.
Do đó AC // A’C’.
Mà A’C’ ⊂ (A’C’D) nên AC // (A’C’D).
Chứng minh tương tự ta cũng có AB’ // DC’ mà DC’ ⊂ (A’C’D) nên AB’ // (A’C’D).
Ta có: AC // (A’C’D);
AB’ // (A’C’D);
AC, AB’ cắt nhau tại điểm A và cùng nằm trong mp(ACB’).
Do đó (ACB’) // (A’C’D).
b)
• Gọi O là tâm hình bình hành đáy ABCD, I là giao điểm của BD’ và DB’.
Tứ giác BDD’B’ có BB’ // DD’ và BB’ = DD’ nên là hình bình hành.
Do đó hai đường chéo BD’ và DB’ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.
Trong mp(BDD’B’), BD’ cắt B’O tại G1.
Mà B’O ⊂ (ACB’) nên G1 là giao điểm của BD’ với (ACB’).
Trong mp(BDD’B’), xét BDB’ có hai đường trung tuyến BI, B’O cắt nhau tại G1 nên G1 là trọng tâm của DBDB’
Do đó
Trong (ACB’), xét ACB’ có B’O là đường trung tuyến và
Suy ra G1 là trọng tâm của ACB’.
• Gọi O’ là tâm hình bình hành đáy A’B’C’D’.
Chứng minh tương tự như trên ta cũng có: G2 là trọng tâm của DD’B’ nên
Trong (A’C’D), A’C’D có DO’ là đường trung tuyến và
Suy ra G2 là trọng tâm của A’C’D.
c) Theo chứng minh câu b, ta có:
• G1 là trọng tâm của BDB’ nên và
• G2 là trọng tâm của DD’B’ nên và
Do đó và
Ta có: và BI = D’I (do I là trung điểm của BD’)
Suy ra BG1 = D’G2.
Lại có nên IG1 = IG2 = BG1
Do đó G1G2 = IG1 + IG2 = BG1 + BG1 = BG1.
Vậy BG1 = G1G2 = D’G2.