Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, (SAC) ⊥ (ABCD). Gọi M là trung điểm của AD, (SBM) ⊥ (ABCD)
151
08/12/2023
Bài 44 trang 104 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, (SAC) ⊥ (ABCD). Gọi M là trung điểm của AD, (SBM) ⊥ (ABCD). Giả sử SA = 5a, AB = 3a, AD = 4a và góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng φ. Tính cosφ.
Trả lời

Gọi H là giao điểm của BM và AC.
Suy ra: H ∈ BM ⊂ (SBM) và H ∈ AC ⊂ (SAC) nên ta có H ∈ (SBM) ∩ (SAC).
Mà S ∈ (SBM) ∩ (SAC).
Từ đó suy ra: SH = (SBM) ∩ (SAC).
Ta có: (SAC) ⊥ (ABCD), (SBM) ⊥ (ABCD), SH = (SBM) ∩ (SAC).
Suy ra SH ⊥ (ABCD), tức H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD).
Nên góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và AH và bằng
Do ABCD là hình chữ nhật nên ^ADC=90°
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác ADC vuông tại D có:
AC2 = AD2 + DC2
(vì DC = AB do ABCD là hình chữ nhật).
Do M là trung điểm của AD nên
Do ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC hay AM // BC.
Áp dụng hệ quả định lí Thalès với AM // BC ta có:
Vì SH ⊥ (ABCD) và AH ⊂ (ABCD) nên SH ⊥ AH.
Xét tam giác SAH vuông tại H có:
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện
Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc
Bài 5: Khoảng cách
Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối
Bài tập cuối chương 8