Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC), SA = h. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC

Luyện tập 2 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC), SA = h. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC.

a) Tính d((MNP), (ABC)) và d(NP, (ABC)).

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B và AB = a. Tính d(A, (SBC)).

Trả lời

a) Xét tam giác SAB có M là trung điểm của SA, N là trung điểm của SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB suy ra MN // AB, do đó MN // (ABC).

Xét tam giác SBC có N là trung điểm của SB, P là trung điểm của SC nên PN là đường trung bình của tam giác SBC suy ra PN // BC, do đó PN // (ABC).

Vì MN // (ABC) và PN // (ABC) mà MN $\cap$ PN = N nên (MNP) // (ABC).

Khi đó d((MNP), (ABC)) = d(M, (ABC)).

Vì SA $\perp$ (ABC) nên MA $\perp$ (ABC). Do đó d(M, (ABC)) = MA.

Vì M là trung điểm SA nên AM = $\frac{SA}{2}=\frac{h}{2}$ .

Do đó d((MNP), (ABC)) = $\frac{h}{2}$ .

Vì PN // (ABC) nên d(NP, (ABC)) = d(N, (ABC)).

Vì MN // (ABC) nên d(N, (ABC)) = d(M, (ABC)) = MA = $\frac{h}{2}$ .

Vậy d(NP, (ABC)) = $\frac{h}{2}$ .

b) Vì ABC là tam giác vuông tại B nên BC $\perp$ AB.

Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ BC mà BC $\perp$ AB nên BC $\perp$ (SAB), suy ra (SBC) $\perp$ (SAB).

Kẻ AH $\perp$ SB tại H.

Vì 

Khi đó d(A, (SBC)) = AH.

Vì SA $\perp$ (ABC) nên SA $\perp$ AB.

Xét tam giác SAB vuông tại A, AH là đường cao, có

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{h^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{a^2+h^2}{a^2{h}^2}$$\Rightarrow AH=\frac{ah}{\sqrt{a^2+h^2}}$.

Vậy d(A, (SBC)) = $\frac{ah}{\sqrt{a^2+h^2}}$ .

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: