Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB (E khác A và B)

Bài 4.18 trang 55 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB (E khác A và B), điểm F thuộc cạnh AD (F khác A và D). Đường thẳng qua D song song với EF cắt AC tại I. Đường thẳng qua B song song với EF cắt AC tại K.

a) Chứng minh rằng: AI = CK.

b) Gọi N là giao điểm của EF và AC. Chứng minh rằng: $\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{AC}{AN}$.

Trả lời

a) Ta có DI // EF và BK // EF nên EF // DI // BK

Do DI // BK nên $\widehat{CID}=\widehat{AKB}$(hai góc so le trong)

Mà $\widehat{AID}+\widehat{CID}=180°;\widehat{CKB}+\widehat{AKB}=180°$

Suy ra $\widehat{AID}=\widehat{CKB}$(1)

Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC

Suy ra $\widehat{DAC}=\widehat{BCA}$(so le trong) hay $\widehat{DAI}=\widehat{BCK}$(2)

Xét DADI có $\widehat{AID}+\widehat{DAI}+\widehat{ADI}=180°$(3)

Xét DCBK có $\widehat{CKB}+\widehat{BCK}+\widehat{CBK}=180°$(4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra $\widehat{ADI}=\widehat{CBK}$

Xét DADI và DCBK có:

(cmt); AD = BC (cmt); (cmt)

Do đó DADI = DCBK (g.c.g)

Suy ra AI = CK (hai cạnh tương ứng).

b) Trong ∆ABK có NE // BK nên $\frac{AB}{AE}=\frac{AK}{AN}$(định lí Thalès).

Trong ∆ADI có FN // DI nên $\frac{AD}{AF}=\frac{AI}{AN}$(định lí Thalès),

Mà AI = CK (câu a) nên $\frac{AD}{AF}=\frac{CK}{AN}$

Suy ra $\frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AF}=\frac{AK}{AN}+\frac{CK}{AN}=\frac{AK+CK}{AN}=\frac{AC}{AN}$

Xem thêm các bài giải Toán lớp 8 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 16: Đường trung bình của tam giác

Bài 17: Tính chất đường phân giác của tam giác

Bài tập cuối chương 4

Bài 18: Thu thập và phân loại dữ liệu

Bài 19: Biểu diễn dữ liệu bằng bảng, biểu đồ

Bài 20: Phân tích số liệu thống kê dựa vào biểu đồ