a) Xét ∆AOB có M, N lần lượt là trung điểm của AO, BO.

Theo bài 4, trang 63, SBT Toán 8 Tập Một, ta có: MN // AB; $\text{MN}=\frac{1}{2}\text{AB.}$ (1)

Tương tự, xét ∆OCD ta cũng có PQ // CD;$\text{QP}=\frac{1}{2}\text{DC.}$ (2)

Mà AB // CD; AB = CD (do ABCD là hình bình hành). (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN // PQ, MN = PQ.

Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b) Xét ∆ANB và ∆CQD có:

AB = CD (ABCD là hình bình hành);

$\widehat{\text{ABN}}=\widehat{\text{CDQ}}$ (hai góc so le trong do AB // CD);

$\text{BN}=\text{DQ}\left(=\frac{1}{4}\text{BD}\right)$ (vì OB = OD, NO = NB, QO = QD)

Do đó ∆ANB = ∆CQD (c.g.c). Suy ra AN = CQ. (4)

Xét ∆AQD và ∆CNB có:

AD = BC (do ABCD là hình bình hành);

$\widehat{\text{ADQ}}=\widehat{\text{CBN}}$ (hai góc so le trong do AD // BC);

$\text{DQ}=\text{BN}\left(=\frac{1}{4}\text{BD}\right)$.

Do đó ∆AQD = ∆CNB (c.g.c). Suy ra AQ = CN. (5)

Từ (4) và (5) suy ra ANCQ là hình bình hành.