Cho hàm số $y=\frac{\left|{\sin }^{2}x-\left(m+1\right)\sin x+2m+2\right|}{\sin x-2}$  (với m là tham số thực). Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi m bằng

Đáp án đúng là: C

Ta có: $y=-\left|\frac{{\sin }^{2}x-\left(m+1\right)\sin x+2m+2}{2-\sin x}\right|$  vì $\sin x<\mathrm{2,}\forall x\in ℝ$

Đặt $t=\sin x,\left(t\in \left[-1;1\right]\right)$ , đặt $f\left(t\right)=\frac{t^2-\left(m+1\right)t+2m+2}{2-t}$ .

Ta có: $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{-t^2+4t}{{\left(2-t\right)}^2}$, $f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff t=\mathrm{0,}t=4$  (loại)

Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}f\left(-1\right)=m+\frac{4}{3}\\ f\left(0\right)=m+1=\underset{t\in \left[-1;1\right]}{\min }f\left(t\right)=a\\ f\left(1\right)=m+2=\underset{t\in \left[-1;1\right]}{\max }f\left(t\right)=A\end{array}\right.$

Nên $\underset{t\in \left[-1;1\right]}{\max }\left|f\left(t\right)\right|=\frac{\left|A+a\right|+\left|A-a\right|}{2}=\frac{\left|2m+3\right|+1}{2}\ge \frac{1}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\iff 2m+3=0\iff m=\frac{-3}{2}$ .