Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$  có đồ thị là (C) và hàm số $y=g\left(x\right)=-f\left(mx+1\right),m>0$  (như hình vẽ). Với giá trị nào của m để hàm số y = g(x) nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng 3?

Đáp án đúng là: A

Từ đồ thị ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}\right.$

$g\left(x\right)=-f\left(mx+1\right)\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=-m.f^{\text{'}}\left(mx+1\right)$

$\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff m.f^{\text{'}}\left(mx+1\right)=0\left(m>0\right)\iff \left[\begin{array}{l}mx+1=0\\ mx+1=2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{-1}{m}\\ x=\frac{1}{m}\end{array}\right.$ .

Bảng xét dấu của g'(x)

Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{-1}{m};\frac{1}{m}\right)$ .

Để hàm số y = g(x) nghịch biến trên đúng một khoảng có độ dài bằng 3 thì $\frac{1}{m}-\frac{-1}{m}=3\iff \frac{2}{m}=3\iff m=\frac{2}{3}$ .