Cho hàm số y = cos x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = cos x trên đoạn [– π; π] bằng cách tính giá trị của cos x với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của cos x với những x âm.

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; cos x) với x ∈ [– π; π] và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn [– π; π].

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì T = 2π, ta được đồ thị của hàm số y = cos x như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số y = cos x.

Lời giải:

a) Hàm số y = f(x) = cos x có tập xác định là D = ℝ.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(– x) = cos (– x) = cos x = f(x), ∀ x ∈ D.

Vậy y = cos x là hàm số chẵn.

b) Ta có: cos 0 = 1, \(\cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\cos \frac{\pi }{2} = 0,\,\cos \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), cos π = – 1.

Vì y = cos x là hàm số chẵn nên \(\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), \(\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0\),

\(\cos \left( { - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\), cos(– π) = cos π = – 1.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

 c) Quan sát Hình 1.15, ta thấy đồ thị hàm số y = cos x có:

+) Tập giá trị là [– 1; 1];

+) Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \pi + k2\pi ;\,k2\pi } \right)\) (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên mỗi khoảng này) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\,\pi + k2\pi } \right),\,k \in \mathbb{Z}\) (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).