Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) y = \(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - 1\);

b) y = \(\sqrt {1 + \cos x} - 2\).

Lời giải:

a) Ta có: \( - 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) với mọi x ∈ ℝ

\( \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 2\) với mọi x ∈ ℝ

\( \Leftrightarrow - 2 - 1 \le 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - 1 \le 2 - 1\) với mọi x ∈ ℝ

\( \Leftrightarrow - 3 \le 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - 1 \le 1\) với mọi x ∈ ℝ

⇔ – 3 ≤ y ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = \(2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - 1\) là [– 3; 1].

b) Vì – 1 ≤ cos x ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ nên 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 với mọi x ∈ ℝ.

Do đó, \(0 \le \sqrt {1 + \cos x} \le \sqrt 2 \) với mọi x ∈ ℝ.

Suy ra \( - 2 \le \sqrt {1 + \cos x} - 2 \le \sqrt 2 - 2\) với mọi x ∈ ℝ.

Hay \( - 2 \le y \le \sqrt 2 - 2\)với mọi x ∈ ℝ.

Vậy tập giá trị của hàm số y = \(\sqrt {1 + \cos x} - 2\) là \(\left[ { - 2;\,\,\sqrt 2 - 2} \right]\).