Cho hàm số f(x) liên tục, có đạo hàm trên $ℝ$ , f(2) = 16 và $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=4$ . Tích phân $\underset{0}{\overset{4}{\int }}x{f}^{\text{'}}\left(\frac{x}{2}\right)\text{d}x$  bằng

Đáp án đúng là: A

Xét tích phân $I=\underset{0}{\overset{4}{\int }}x{f}^{\text{'}}\left(\frac{x}{2}\right)\text{d}x$

Đặt: $t=\frac{x}{2}\Rightarrow dt=\frac{1}{2}\text{d}x$ ; Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0;x=4\Rightarrow t=2$ .

Khi đó: $I=\underset{0}{\overset{4}{\int }}x{f}^{\text{'}}\left(\frac{x}{2}\right)\text{d}x=\underset{0}{\overset{2}{\int }}4t{f}^{\text{'}}\left(t\right)\text{d}t=\underset{0}{\overset{2}{\int }}4x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x$ .

Đặt: $\left\{\begin{array}{l}u=4x\\ dv=f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}u=4\text{d}x\\ v=f\left(x\right)\end{array}\right.$ .

Khi đó: $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}4x{f}^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x={\left.4xf\left(x\right)\right|}_0^2-\underset{0}{\overset{2}{\int }}4f\left(x\right)\text{d}x$$=8f\left(2\right)-4.4$$=8.16-16=112$   .