Cho hàm số f(x) có đạo hàm xác định trên $ℝ$  thỏa mãn $f\left(0\right)=2\sqrt{2}$ , $f\left(x\right)>0$  và $f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)=\left(2x+1\right)\sqrt{1+f^2\left(x\right)},\forall x\in ℝ$ . Giá trị f(2) là

Đáp án đúng là: B

Ta có $f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)=\left(2x+1\right)\sqrt{1+f^2\left(x\right)},\forall x\in ℝ$

$\iff \frac{f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)}{\sqrt{1+f^2\left(x\right)}}=2x+1,\forall x\in ℝ$$\iff \frac{2f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)}{2\sqrt{1+f^2\left(x\right)}}=2x+1,\forall x\in ℝ$

$\Rightarrow \int \frac{2f\left(x\right).f^{\text{'}}\left(x\right)}{2\sqrt{1+f^2\left(x\right)}}\text{d}x=\int \left(2x+1\right)\text{d}x$$\Rightarrow \sqrt{1+f^2\left(x\right)}=x^2+x+C$ .

Cho x = 0  ta được: $C=\sqrt{1+f^2\left(0\right)}=\sqrt{1+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=3$ .

Do đó $\sqrt{1+f^2\left(x\right)}=x^2+x+3$ .

Lại cho x = 2 ta được: $\sqrt{1+f^2\left(2\right)}=4+2+3=9$$\Rightarrow 1+f^2\left(2\right)=81$$\Rightarrow f^2\left(2\right)=80$     

$\Rightarrow f\left(2\right)=4\sqrt{5}$ (do $f\left(x\right)>0$ ).

Vậy $f\left(2\right)=4\sqrt{5}$ .