Cho hàm số f( x ) liên tục trên R thỏa điều kiện f( x ) + f( - x) = 2cos x, với x thuộc R. Giá trị của N = limits - pi /2^pi /2 f( x )dx là A. N = - 1. B. N = 0. C. N = 1. D. N =
36
19/04/2024
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa điều kiện \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = 2\cos x,\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Giá trị của \(N = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) là
A. \(N = - 1.\)
B. \(N = 0.\)
C. \(N = 1.\)
D. \(N = 2.\)
Trả lời
Hướng dẫn giải
Ta có \(N = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {f\left( { - x} \right)dx} \)
Suy ra \(2N = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {2\cos xdx.} \)
Vậy \(N = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} = 2\sin x\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{2}} = 2.} \right.\)
Chọn D.
