Hướng dẫn giải

Ta có $\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}dx = 7}$ (1).

$\int\limits_0^1 {{x^6}dx} = \frac{1}{7} \Rightarrow \int\limits_0^1 {49{x^6}dx} = 7$ (2).

và $\int\limits_0^1 {14{x^3}.f'\left( x \right)dx = - 14}$ (3).

Cộng hai vế (1), (2) và (3) suy ra

$\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right) + 7{x^3}} \right]}^2}dx = 0}$ mà ${\left[ {f'\left( x \right) + 7{x^3}} \right]^2} \ge 0$

$\Rightarrow f'\left( x \right) = - 7{x^3}.$

Hay $f\left( x \right) = - \frac{{7{x^4}}}{4} + C.$

$f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow - \frac{7}{4} + C = 0 \Rightarrow C = \frac{7}{4}.$

Do đó $f\left( x \right) = - \frac{{7{x^4}}}{4} + \frac{7}{4}.$

Vậy $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( { - \frac{{7{x^4}}}{4} + \frac{7}{4}} \right)dx = \frac{7}{5}} .$