Cho f(x) = mx² + 2(m + 1)x + m – 2. Với giá trị nào của tham số m thì f(x) là tam thức bậc hai và f(x) > 0 có nghiệm?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

f(x) = mx² + 2(m + 1)x + m – 2 là tam thức bậc hai ⇔ a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.

Ta có:

∆’ = (m + 1)² – m(m – 2)

= m² + 2m + 1 – m² + 2m

= 4m + 1.

Trường hợp 1: a > 0 ⇔ m > 0.

Khi đó f(x) > 0 có nghiệm với mọi x.

Do đó m > 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Trường hợp 2: a < 0 ⇔ m < 0.

Khi đó để f(x) > 0 có nghiệm thì ∆ > 0.

⇔ 4m + 1 > 0.

⇔ $m>-\frac{1}{4}$.

Kết hợp m < 0 ta có $-\frac{1}{4}<m<0$.

Kết hợp cả 2 trường hợp, ta thu được kết quả m ∈ $\left(-\frac{1}{4};+\infty \right)\backslash \left\{0\right\}$.

Vậy m ∈ $\left(-\frac{1}{4};+\infty \right)\backslash \left\{0\right\}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn phương án C.