Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 1)² = 25 và điểm M(9; – 4). Gọi d là tiếp tuyến của (C), biết d đi qua M và không song song với các trục toạ độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến d bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(–1; 1) và R = 5.

Ta có $\overrightarrow{IM}=\left(10;-5\right)$ 

Giả sử tiếp tuyến d có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ (với a, b ≠ 0 do d không song song với các trục toạ độ).

Khi đó tiếp tuyến d đi qua điểm M(9; – 4) nên có phương trình:

a(x – 9) + b(y + 4) = 0 $\iff$ ax + by – 9a + 4b = 0.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn nên d(I, d) = R

$\iff \frac{\left|-a+b-9a+4b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=5\iff \left|5b-10a\right|=5\sqrt{a^2+b^2}$ 

$\iff$ 5² . (b – 2a)² = 5² . (a² + b²) $\iff$ b² – 4ab + 4a² = a² + b²

$\iff$ 3a² – 4ab = 0 Û a(3a – 4b) = 0

$\iff$3a = 4b.

Chọn b = 3 thì a = 4.

Khi đó d có phương trình là:

4x + 3y – 36 + 12 = 0 hay 4x + 3y – 24 = 0.

Do đó d(P; d) = $\frac{\left|4.6+3.5-24\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{15}{5}=3.$