5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (Vận dụng) có đáp án

Câu 1:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: $\sqrt{3} x + y = 0$ và d₂: $\sqrt{3} x - y = 0$ . Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d₁ tại điểm A có hoành độ dương, (C) cắt d₂ tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B và có diện tích bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Phương trình của đường tròn (C) là:

A. ${(x + \frac{\sqrt{3}}{6})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 1;$

B. ${(x - \frac{\sqrt{3}}{6})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 1;$

C. ${(x - \frac{\sqrt{3}}{6})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1;$

D. ${(x + \frac{\sqrt{3}}{6})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: căn bậc hai 3x+y=0 và d2: căn bậc hai 3x-y=0 . (ảnh 1)

Vì A ∈ d₁ nên $A (a; - a \sqrt{3}) (a > 0)$

B, C ∈ d₂ nên $B (b; b \sqrt{3}), C (c; c \sqrt{3})$ .

Suy ra $\vec{A B} = (b - a; b \sqrt{3} + a \sqrt{3}), \vec{A C} = (c - a; c \sqrt{3} + a \sqrt{3}), \vec{B C} = (c - b; c \sqrt{3} - b \sqrt{3})$

Đường thẳng d₁: $\sqrt{3} x + y = 0$ có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{1} = (\sqrt{3}; 1)$ nên có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{1} = (1; - \sqrt{3})$ .

Đường thẳng d₂: $\sqrt{3} x - y = 0$ có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{2} = (\sqrt{3}; - 1)$ nên có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{2} = (1; \sqrt{3})$ .

Ba điểm A, B, C đều nằm trên đường tròn mà tam giác ABC vuông tại B

Do đó AC là đường kính của đường tròn (C).

$\Rightarrow$ AC ⊥ d₁ $\Leftrightarrow \vec{A C} . {\vec{u}}_{1} = 0 \Leftrightarrow 1. (c - a) - \sqrt{3} (c \sqrt{3} + a \sqrt{3}) = 0$

$\Leftrightarrow$ c – a – 3c – 3a = 0 Û 2a + c = 0 (1).

Lại có tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ d₂

$\Leftrightarrow \vec{A B} . \vec{u_{2}} = 0 \Leftrightarrow 1 . (b - a) + \sqrt{3} . (b \sqrt{3} + a \sqrt{3}) = 0$

$\Leftrightarrow$ b – a + 3b + 3a = 0 $\Leftrightarrow$ a + 2b = 0 (2).

Mặt khác $S_{A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} . d (A; d_{2}) . B C = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{|\sqrt{3} . a - (- a \sqrt{3})|}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}} . \sqrt{{(c - b)}^{2} + {(c \sqrt{3} - b \sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \frac{|2 a \sqrt{3}|}{2} . \sqrt{4 {(c - b)}^{2}} = \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{2 a \sqrt{3}}{2} .2 |c - b| = \sqrt{3}$ (do a > 0)

$\Leftrightarrow$ 2a|c – b| = 1 (3)

Từ (1) và (2) suy ra 2(2a + c) – (a + 2b) = 2 Û 2c – 2b = –3a

Thay vào (2) ta được a.|–3a| = 1 Û 3a² = 1 (do a > 0)

$\Leftrightarrow a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ (do a > 0).

Khi đó $b = - \frac{\sqrt{3}}{6}, c = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow A (\frac{\sqrt{3}}{3}; - 1), C (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}; - 2)$ và $\vec{A C} = (- \sqrt{3}; - 1)$

Đường tròn (C) có AC là đường kính nên nhận trung điểm $I (- \frac{\sqrt{3}}{6}; - \frac{3}{2})$ của AC làm tâm và bán kính $R = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}}{2} = 1$ .

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là $(C) : {(x + \frac{\sqrt{3}}{6})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = 1.$

Câu 2:

Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(5; –2) của đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 8 là:

A. x – 5 = 0;

B. x + y – 3 = 0 hoặc x – y – 7 = 0;

C. x – 5 = 0 hoặc x + y – 3 = 0;

D. y + 2 = 0 hoặc x – y – 7 = 0.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(1; –2) và bán kính R = $2 \sqrt{2}$ .

Giả sử tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_{d} = (a; b)$ (a² + b² ≠ 0).

Phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A(5; –2) và nhận ${\vec{n}}_{d} = (a; b)$ làm vectơ pháp tuyến là:

a(x – 5) + b(y + 2) = 0 hay ax + by – 5a + 2b = 0.

Ta có: $d (I, d) = R \Leftrightarrow \frac{|a .1 + b . (- 2) - 5 a + 2 b|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = 2 \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow$ |a – 2b – 5a + 2b| = $2 \sqrt{2 (a^{2} + b^{2})}$

$\Leftrightarrow$ (– 4a)² = 8(a² + b²)

$\Leftrightarrow$ 16a² – 8a² = 8b²

$\Leftrightarrow$ a² = b²

$\Leftrightarrow$ a = b hoặc a = – b.

Với a = b, chọn b = 1 thì a = 1.

Khi đó phương trình d là x + y – 3 = 0.

Với a = – b, chọn b = – 1 thì a = 1.

Khi đó phương trình d là x – y – 7 = 0.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 3:

Cho phương trình x² + y² – 2(m + 1)x + 4y – 1 = 0 (1). Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?

A. m = 2;

B. m = – 1;

C. m = 1;

D. m = –2.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có x² + y² – 2(m + 1)x + 4y – 1 = 0 có a = m + 1; b = –2 và c = –1.

Để (1) là phương trình đường tròn thì a² + b² – c > 0

$\Leftrightarrow$ (m + 1)² + (–2)² – (–1) > 0

$\Leftrightarrow$ (m + 1)² + 5 > 0 (luôn đúng với mọi m).

Khi đó bán kính của đường tròn này là $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$

Hay R² = (m + 1)² + 5 ≥ 5, với mọi m.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m + 1 = 0 $\Leftrightarrow$ m = –1.

Vậy đường tròn có bán kính nhỏ nhất bằng $R = \sqrt{5}$ khi m = –1.

Câu 4:

Cho tiếp tuyến d của một đường tròn có phương trình: x – y = 0. Biết bán kính của đường tròn này bằng 2 và điểm O(0;0) thuộc đường tròn. Hỏi có bao nhiêu phương trình đường tròn tâm I có tiếp tuyến trên?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn.

Khi đó IM vuông góc với tiếp tuyến.

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn là: x – y = 0 có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{1} = (1; - 1)$ .

Đường thẳng IM có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{2} = (1; 1)$ nên phương trình có dạng: x + y + c = 0.

Điểm I nằm trên đường thẳng IM nên ta có I(t; – c – t)

$\Rightarrow \vec{O I} = (t; - c - t)$

O nằm trên đường tròn nên OI = R = 2

Do đó t² + (– c – t)² = 4.

Mặt khác, IM vuông góc với tiếp tuyến nên khoảng cách từ I đến tiếp tuyến d bằng 2.

Hay $d (I, d) = 2 \Leftrightarrow \frac{|t - (- c - t)|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = 2$

$\Leftrightarrow |c + 2 t| = 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} c = 2 \sqrt{2} - 2 t \\ c = - 2 \sqrt{2} - 2 t \end{array}$

Khi $c = 2 \sqrt{2} - 2 t$ thì ta có: $t^{2} + {(2 \sqrt{2} - 2 t - t)}^{2} = 4$

$\Leftrightarrow t^{2} + {(2 \sqrt{2} - 3 t)}^{2} = 4 \Leftrightarrow 10 t^{2} - 12 \sqrt{2} t + 4 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \sqrt{2} \\ t = \frac{\sqrt{2}}{5} \end{array}$

Với 2 giá trị của t, suy ra có 2 điểm I.

Khi $c = - 2 \sqrt{2} - 2 t$ thì ta có: $t^{2} + {(- 2 \sqrt{2} - 3 t)}^{2} = 4$

$\Leftrightarrow 10 t^{2} + 12 \sqrt{2} t + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - \sqrt{2} \\ t = - \frac{\sqrt{2}}{5} \end{array}$

Với 2 giá trị của t, suy ra có 2 điểm I.

Vậy có 4 phương trình đường tròn thỏa mãn.

Câu 5:

Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 1)² = 25 và điểm M(9; – 4). Gọi d là tiếp tuyến của (C), biết d đi qua M và không song song với các trục toạ độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến d bằng:

A. $\sqrt{3};$

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(–1; 1) và R = 5.

Ta có $\vec{I M} = (10; - 5)$

Giả sử tiếp tuyến d có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = (a; b)$ (với a, b ≠ 0 do d không song song với các trục toạ độ).

Khi đó tiếp tuyến d đi qua điểm M(9; – 4) nên có phương trình:

a(x – 9) + b(y + 4) = 0 $\Leftrightarrow$ ax + by – 9a + 4b = 0.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn nên d(I, d) = R

$\Leftrightarrow \frac{|- a + b - 9 a + 4 b|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = 5 \Leftrightarrow |5 b - 10 a| = 5 \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

$\Leftrightarrow$ 5² . (b – 2a)² = 5² . (a² + b²) $\Leftrightarrow$ b² – 4ab + 4a² = a² + b²

$\Leftrightarrow$ 3a² – 4ab = 0 Û a(3a – 4b) = 0

$\Leftrightarrow$ 3a = 4b.

Chọn b = 3 thì a = 4.

Khi đó d có phương trình là:

4x + 3y – 36 + 12 = 0 hay 4x + 3y – 24 = 0.

Do đó d(P; d) = $\frac{|4.6 + 3.5 - 24|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{15}{5} = 3.$

Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (Phần 2) có đáp án

Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ (Vận dụng) có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương