Cho dãy ( un) với un = n + 2018/2018n + 1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Dãy ( un) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên. B. Dãy ( un) bị chặn. C. Dãy ( un) kh
39
25/04/2024
Cho dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] với \[{u_n} = \frac{{n + 2018}}{{2018n + 1}}\]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
B. Dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] bị chặn.
C. Dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] không bị chặn trên, không bị chặn trên.
D. Dãy \[\left( {{u_n}} \right)\] bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.
Trả lời
Đáp án B
Phương pháp:
Chứng minh dãy số đã cho là dãy số giảm bằng cách chứng minh hiệu \[{u_{n + 1}} - {u_n} < 0.\] Từ đó chọn kết luận đúng.
Cách giải:
Ta có
\[{u_n} = \frac{{n + 2018}}{{2018n + 1}} = \frac{{n + \frac{1}{{2018}} + 2018 - \frac{1}{{2018}}}}{{2018n + 1}}\]
\[ = \frac{1}{{2018}} + \frac{{2018 - \frac{1}{{2018}}}}{{2018n + 1}} = \frac{1}{{2018}} + \frac{{{{2018}^2} - 1}}{{2018\left( {2018n + 1} \right)}} = \frac{1}{{2018}} + \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 1} \right)}}\]
\[ \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{1}{{2018}} + \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018\left( {n + 1} \right) + 1} \right)}}\]
\[ = \frac{1}{{2018}} + \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 2019} \right)}}\]
\[ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n}\]
\[ = \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 2019} \right)}} - \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 1} \right)}}\]
\[ = \frac{{2017.2019}}{{2018}}\left( {\frac{1}{{2018n + 2019}} - \frac{1}{{2018n + 1}}} \right)\]
Do \[2018n + 2019 > 2018n + 1 \Rightarrow \frac{1}{{2018n + 2019}} < \frac{1}{{2018n + 1}}\]
\[ \Rightarrow \frac{1}{{2018n + 2019}} - \frac{1}{{2018n + 1}} < 0\] hay \[{u_{n + 1}} - {u_n} < 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}.\]
Suy ra dãy số đó cho là dãy số giảm.
Lại có \[{u_1} = \frac{{1 + 2018}}{{2018 + 1}} = 1.\] Vậy dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] giảm và bị chặn dưới bởi 1.
