Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 1;\,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{{{n^2}}},\,\forall n \in \mathbb{N}$. Trong các phát biểu sau, có bao nhiêu phát biểu đúng?

(I) $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng                   (II) $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn dưới      (III) ${u_2} = 2{u_1}$

Đáp án D

Phương pháp:

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$

+ $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng khi ${u_n} > {u_{n - 1}}$ $\left( {\forall n \in \mathbb{N}*} \right)$

$\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn dưới khi tồn tại số $m$ sao cho ${u_n} \ge m$ $\left( {\forall n \in \mathbb{N}*} \right)$

Cách giải:

Ta có ${u_1} = 1;\,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{1}{{{n^2}}},\,\forall n \in \mathbb{N}$ nên ${u_2} = {u_1} + \frac{1}{{{1^2}}} = 1 + 1 = 2 \Rightarrow {u_2} = 2{u_1}$ nên (III) đúng.

Lại có ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{n^2}}} > 0$ $\left( {\forall n} \right)$ hay ${u_{n + 1}} > {u_n}$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng nên (I) đúng.

Vì $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng nên ta có ${u_n} \ge {u_1} = 1$ với mọi $n \in \mathbb{N}*$

Hay $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn dưới nên (II) đúng.