Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = $\frac{1}{3}$ và u₁ + u₂ + u₃ = – 1.

a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát u­_n.

b) Số – 67 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên.

c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không?

Lời giải

a) Ta có: u₁ + u₂ + u₃ = – 1

⇒ u₁ + u₁ + d + u₁ + 2d = – 1

⇒ 3u₁ + 3d = – 1

Mà u₁ = $\frac{1}{3}$ nên d = $- \frac{2}{3}$

Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: u_n = $\frac{1}{3} - \frac{2}{3}\left( {n - 1} \right) = - \frac{2}{3}n + \frac{1}{3}$ với mọi n ∈ ℕ*.

b) Xét u_n = $- \frac{2}{3}n + \frac{1}{3} = - 67$

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3}n = \frac{{ - 202}}{3}$

$\Leftrightarrow n = 101$

Vậy số – 67 là số hạng thứ 101 của dãy.

c) Xét u_n = 7

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3}n + \frac{1}{3} = 7$

$\Leftrightarrow - \frac{2}{3}n = \frac{{20}}{3}$

⇔ n = – 10 ∉ ℕ*

Vậy số 7 không phải là một số hạng trong cấp số cộng.