Cho 2 số thực x,y thỏa mãn $x^2+y^2\ge 3$  và ${\log }_{x^2+y^2}\left[x\left(4x^2-3x+4y^2\right)-3y^2\right]\ge 2$ . Gọi M;m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x - y, khi đó biểu thức T = 2(M + m) có giá trị gần nhất với số nào sau đây?

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\log }_{x^2+y^2}\left[x\left(4x^2-3x+4y^2\right)-3y^2\right]\ge 2\iff {\log }_{x^2+y^2}\left[\left(x^2+y^2\right)\left(4x-3\right)\right]\ge 2$

$1+{\log }_{x^2+y^2}\left(4x-3\right)\ge 2\iff x^2+y^2-4x+3\le 0\iff {\left(x-2\right)}^2+y^2\le 1$

Giả sử M là giá trị lớn nhất của P.

Gọi ${\Delta }_1:x-y-M=0$  để tồn tại giá trị lớn nhất thì $d\left(I;\left(\Delta \right)\right)\le R$ .

$\iff \frac{\left|2-M\right|}{\sqrt{2}}\le 1\iff M\le 2+\sqrt{2}$.

Vậy giá trị lớn nhất của P là $M=2+\sqrt{2}$ .

Giả sử m  là giá trị nhỏ nhất của P.

Gọi ${\Delta }_2:x-y-m=0$ .

Dựa vào miền nghiệm của P ta thấy P đạt giá trị nhỏ nhất khi ${\Delta }_2$  đi qua điểm $A\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\Rightarrow m=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $T=2\left(M+m\right)=2\left(2+\sqrt{2}+\frac{3-\sqrt{3}}{2}\right)\approx \mathrm{8,096}$ .