Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,$ với $a,b$ là các số nguyên.

Giá trị của $P = 2a + b$ là

Hướng dẫn giải

Ta có $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{\left( {\sin x + 1} \right)\left( {\sin x + 2} \right)}}d\left( {\sin x} \right)} }$

$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{1}{{\sin x + 1}} - \frac{1}{{\sin x + 2}}} \right)d\left( {\sin x} \right) = \left( {\ln \left| {\sin x + 1} \right| - \ln \left| {\sin x + 2} \right|} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\frac{\pi }{2}}} \right.}$

$= \ln 2 - \ln 1 - \left( {\ln 3 - \ln 2} \right) = 2\ln 2 - \ln 3$

Suy ra $a = 2,b = - 1 \Rightarrow 2a + b = 3.$

Chọn A.