Biết limits 0^2 2xln ( 1 + x)dx = a.ln b, với a,b thuộc N^*, (b) là số nguyên tố. Giá trị của 3a + 4b bằng A. 42.     B. 21. C. 12.  D. 32.

Biết \(\int\limits_0^2 {2x\ln \left( {1 + x} \right)dx = a.\ln b,} \) với \(a,b \in {\mathbb{N}^*}\), \(b\) là số nguyên tố. Giá trị của \(3a + 4b\) bằng
A. 42.
B. 21.
C. 12.
D. 32.

Trả lời

Hướng dẫn giải

Xét \(I = \int\limits_0^2 {2x\ln \left( {1 + x} \right)dx.} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = 2xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{{1 + x}}dx\\v = {x^2} - 1\end{array} \right.\) .

Ta có \(I = \left( {{x^2} - 1} \right)\ln \left( {x + 1} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. - \int\limits_0^2 {\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}}dx} \)

\( = 3\ln 3 - \int\limits_0^2 {\left( {x - 1} \right)dx} = 3\ln 3 - \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle2\atop\scriptstyle}} \right. = 3\ln 3.\)

Vậy \(a = 3,b = 3 \Rightarrow 3a + 4b = 21.\)

Chọn B.

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả