a) Biểu diễn miền nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau

Bài 8 trang 96 Toán 10 Tập 2: a) Biểu diễn miền nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:  

$\left\{\begin{array}{l}x+y\le 6\\ 2x-y\le 2\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$.

b) Từ kết quả câu a, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y trên miền D.

Trả lời

a) Biểu diễn miền nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 6\\ 2x-y\le 2\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$  

+) Vẽ đường thẳng x + y = 6 trên mặt phẳng Oxy, lấy điểm O(0; 0), ta thấy 0 + 0 < 6 nên miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 6 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x + y = 6 chứa điểm O(0; 0) kể cả biên. 

+) Vẽ đường thẳng 2x – y = 2 trên mặt phẳng Oxy, lấy điểm O(0; 0), ta thấy 2 . 0 – 0 ≤ 2 nên miền nghiệm của bất phương trình 2x – 2 ≤ 2 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng 2x – y = 2 chứa điểm O(0; 0) kể cả biên. 

Miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}x+y\le 6\\ 2x-y\le 2\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}\right.$như hình trên. 

b) Từ kết quả câu a, ta thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC kể cả các cạnh của tứ giác. Tọa độ của các đỉnh của tứ giác OABC là: O(0; 0), A(1; 0),$B\left(\frac{8}{3};\frac{10}{3}\right)$ , C(0; 6). 

Ta có: F(x; y) = 2x + 3y. 

F(0; 0) = 0; F(1; 0) = 2; ; F(0; 6) = 18. 

Vậy giá trị lớn nhất của F(x; y) = 2x + 3y trên miền D là 18. Giá trị nhỏ nhất của F(x; y) = 2x + 3y trên miền D là 0.