Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, BC

Bài 14 trang 96 Toán 10 Tập 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, BC.

a) Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{DM},\overrightarrow{AN}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$. 

b) Tính $\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{AN}$ và tìm góc giữa hai đường thẳng DM và AN.

Trả lời

a) Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. 

Do đó, ta có: $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$. 

Vì N là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. 

Do ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$. Khi đó, $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. 

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$. 

b) Do ABCD là hình vuông nên ta có: AB = AD = a,$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$ (AB ⊥ AD). 

Từ đó suy ra $\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{AN}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\right)$

$=\frac{1}{2}{\left(\overrightarrow{AB}\right)}^2+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}{\left(\overrightarrow{AD}\right)}^2$. 

$=\frac{1}{2}A{B}^2+\frac{1}{4}\cdot 0-0-\frac{1}{2}A{D}^2$

$=\frac{1}{2}\left(A{B}^2-A{D}^2\right)=0$

Do đó: $\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{AN}=0\iff \overrightarrow{DM}\perp \overrightarrow{AN}\iff DM\perp AN$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng  DM và AN bằng 90°.