a) Xét dãy số (u_n) với u_n = 3n – 1. Tính u_{n + 1} và so sánh với u­_n.

b) Xét dãy số (v_n) với \({v_n} = \frac{1}{{{n^2}}}\). Tính v_{n + 1} và so sánh với v_n.

Lời giải:

a) Ta có: u_{n + 1} = 3(n + 1) – 1 = 3n + 3 – 1 = 3n + 2

Xét hiệu u_{n + 1} – u_n ta có: u_{n + 1} – u_n = (3n + 2) – (3n – 1) = 3 > 0, tức là u_{n + 1} > u_n ∀ n ∈ ℕ^*.

Vậy u_{n + 1} > u_n ∀ n ∈ ℕ^*.

b) Ta có: \({v_{n + 1}} = \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\).

Xét hiệu v_{n + 1} – v_n ta có:

v_{n + 1} – v_n = \(\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{n^2}}}\)\( = \frac{{{n^2} - {{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{n^2} - \left( {{n^2} + 2n + 1} \right)}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - \left( {2n + 1} \right)}}{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Tức là v_{n + 1} < v_n , ∀ n ∈ ℕ^*.

Vậy v_{n + 1} < v_n ∀ n ∈ ℕ^*.