Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n), biết:

a) u_n = 2n – 1;

b) u_n = – 3n + 2;

c) \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{2^n}}}\).

Lời giải:

a) Ta có: u_{n + 1} = 2(n + 1) – 1 = 2n + 2 – 1 = 2n + 1

Xét hiệu u_{n + 1} – u_n = (2n + 1) – (2n – 1) = 2 > 0, tức là u_{n + 1} > u_n , ∀ n ∈ ℕ^*.

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

b) Ta có: u_{n + 1} = – 3(n + 1) + 2 = – 3n – 3 + 2 = – 3n – 1

Xét hiệu u_{n + 1} – u_n = (– 3n – 1) – (– 3n + 2) = – 3 < 0, tức là u_{n + 1} < u_n­, ∀ n ∈ ℕ^*.

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

c) \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{2^n}}}\)

Nhận xét thấy: \({u_1} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{1 - 1}}}}{{{2^1}}} = \frac{1}{2} > 0\); \({u_2} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{2 - 1}}}}{{{2^2}}} = \frac{{ - 1}}{4} < 0\);

\({u_3} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{3 - 1}}}}{{{2^3}}} = \frac{1}{8} > 0\); \({u_4} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{4 - 1}}}}{{{2^4}}} = \frac{{ - 1}}{{16}} < 0\); ...

Vậy dãy số (u_n) không tăng, cũng không giảm.