Cách tính tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (2024) chi tiết nhất

1900.edu.vn xin giới thiệu Cách tính tiệm cận đứng của đồ thị hàm số môn Toán hay, chi tiết nhất sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán tốt hơn. Mời các em tham khảo:

Cách tính tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

I. Phương pháp giải

1. Tiệm cận đứng

Cho hàm số y=f(x) xác định trên K\{α}. Nếu giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến “bên trái” hoặc x tiến đến “bên phải” điểm α bằng vô cực (âm vô cực hoặc dương vô cực). Thì đồ thị hàm số y=f(x) có đường tιệm cận đứng là x=α.

Theo cách hiểu như vậy các em cần lưu ý để x có thể tiến đến α thì f(x) phải xác định trên lân cận trái (hoặc phải) của điểm α.

Chẳng hạn như f(x) có tập xác định là (1;3) và không xác định tại x=5 thì x không thể tiến tới giá trị 5 được. Vì vậy cũng không thể có tιệm cận đứng x=5.

Ví dụ:

- Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ có tập xác định D.

- Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \pm \infty$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = \pm \infty$ thì đường thẳng $x = {x_0}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2. Cách tìm tiệm cận đứng

Cách 1

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{u}{v}$ có tập xác định D

Bước 1. Muốn xác định đồ thị hàm số có tiệm cận hay không ta tìm nghiệm của phương trình v = 0. Ví dụ x = a là nghiệm của phương trình.

Bước 2. Xét x = a có là nghiệm của tử thức u:

+ Nếu x = a là không nghiệm của u = 0 thì x = a là một tiệm cận đứng.

+ Nếu x = a là nghiệm của u = 0 thì phân tích đa thức thành nhân tử:

$y = \frac{u}{v} = \frac{{{{\left( {x - a} \right)}^m}.h\left( x \right)}}{{{{\left( {x - a} \right)}^n}.g\left( x \right)}}$ . Rút gọn x – a:

Nếu còn nhân tử x – a dưới mẫu thì x = a là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Nếu không còn nhân tử x – a trên tử hay ca tử và mẫu thì x – a không là tiệm cận đứng của đồ thị.

- Công thức tính tiệm cận của hàm phân thức $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}},\left( {ad - bc \ne 0;c \ne 0} \right)$

$\Rightarrow x = - \frac{d}{c}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Cách 2

Tìm tiệm đứng bao gồm các bước sau:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
Bước 2. Tìm những điểm mà hàm số không xác định nhưng có lân cận trái hoặc lân cận phải của điểm đó nằm trong tập xác định.
Bước 3. Tính các giới hạn một bên của hàm số tại các điểm ở bước 2 và kết luận theo định nghĩa nêu trên.

3. Dấu hiệu nhận biết tiệm cận đứng

- Hàm phân thức khi nghiệm của mẫu không là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.

II. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 3x + 2}}{{{x^2} - 4x + 3}}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = 1 và x = 3.

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận đứng.

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = 3.

Gợi ý đáp án

Tập xác định của hàm số:

$\begin{matrix} D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;3} \right\} \hfill \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty } \\ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = - \infty \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \right. \Rightarrow TCD:x = 1;x = 3 \hfill \\ \end{matrix}$

Chú ý: Chỉ cần tính giới hạn một bên trái hoặc phải

→ Đáp án B

Câu 2: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}$ .

Gợi ý đáp án

Tập xác định của hàm số:

$\begin{matrix} D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} } \right) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}} = + \infty \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy đồ thị có một tiệm cận đứng là x = 1

Câu 3: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}}$ có đúng một tiệm cận đứng.

A. $m \in \left\{ { - 1; - 4} \right\}$	B. $m = - 1$
C. $m = - 4$	D. $m \in \left\{ {1;4} \right\}$

Gợi ý đáp án

Ta có:

$y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{{x^2} + m}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}$

Để đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi và chỉ khi:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{1^2} + m = 0} \\ {{2^2} + m = 0} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m + 1 = 0} \\ {m + 4 = 0} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 1} \\ {m = - 4} \end{array}} \right.} \right.} \right.$

→ Đáp án A

Câu 4:

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{2 x+1}{x-1}.$

A. x=1 ; x=2.

B. y=1 ; x=2.

C. x=1 ; y=2.

D. x=1 ; x=-2.

Gợi ý đáp án

+) Ta có: $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} y=+\infty \Rightarrow x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+) Ta có: $\lim _{x \rightarrow+\infty} y=2 \Rightarrow y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

⇒Chon đáp án C.

Câu 5. Đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x^{2}-4}$ có mấy tiệm cận?

Gợi ý đáp án

Ta có: $y=\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2} ; \forall x \neq 2.$

+) Ta có: $\lim _{x \rightarrow(-2)^{-}} y=\lim _{x \rightarrow(-2)^{-}} \frac{1}{x+2}=+\infty$ và

$\lim _{x \rightarrow(-2)^{-}} y=\lim _{x \rightarrow(-2)^{-}} \frac{1}{x+2}=-\infty \Rightarrow x=-2$ là đường tiệm cận

Câu 6: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau:
a)

y = \frac{2 - x}{1 - x^{2}} (C) .

y = \frac{2 x^{2} + 5 x + 1}{x^{2} - 5 x + 4} (C) .

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: $D = R ∖ {- 1; 1}$ . Ta có: $lim_{x \to \pm \infty} y = lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 - x}{1 - x^{2}} = lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2} - 1}} = 0 \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Mặt khác $lim_{x \to 1} y = \infty$ và $lim_{x \to (- 1)} y = \infty$ nên $x = 1$ và $x = - 1$ là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

b) TXĐ: $D = R ∖ {1; 4}$ .

Ta có: $lim_{x \to 1^{+}} y = lim_{x \to 1^{+}} \frac{2 x^{2} + 5 x + 1}{(x - 1) (x - 4)} = - \infty$ (hoặc $lim_{x \to 1^{-}} y = lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x^{2} + 5 x + 1}{(x - 1) (x - 4)} = + \infty$ ) nên đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của (C).

Tương tự đường thẳng $x = 4$ cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Lại có: $lim_{x \to \pm \infty} y = lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 x^{2} + 5 x + 1}{x^{2} - 5 x + 4} = lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}} = 2$ nên đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 7: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau
a)

y = \frac{\sqrt{x + 3} - 2 x}{x^{2} - 1} .

y = \frac{x^{2} - 4 x + 3}{\sqrt{x^{2} + 7} - 4} .

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: $D = [- 3; + \infty) ∖ {\pm 1} .$

Ta có: $lim_{x \to + \infty} y = lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x + 3} - 2 x}{x^{2} - 1} = 0 \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Mặt khác $lim_{x \to 1} y = lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2 x}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{x + 3 - 4 x^{2}}{\sqrt{x + 3} + 2 x}}{(x - 1) (x + 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{(1 - x) (3 + 4 x)}{\sqrt{x + 3} + 2 x}}{(x - 1) (x + 1)}$

$= lim_{x \to 1} - \frac{3 + 4 x}{(x + 1) (\sqrt{x + 3} + 2 x)} = - \frac{7}{8} \Rightarrow x = 1$ không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: $lim_{x \to (- 1)} y = lim_{x \to (- 1)} \frac{\sqrt{x + 3} - 2 x}{x^{2} - 1} = \infty \Rightarrow x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) TXĐ: $D = R .$ Ta có: $lim_{x \to \pm \infty} y = lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^{2} - 4 x + 3}{\sqrt{x^{2} + 7} - 4} = + \infty \Rightarrow$ Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Lại có: $y = \frac{(x - 1) (x - 3)}{\frac{x^{2} + 7 - 16}{\sqrt{x^{2} + 7} + 4}} = \frac{(\sqrt{x^{2} + 7} + 4) (x - 1) (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{(\sqrt{x^{2} + 7} + 4) (x - 1)}{x + 3}$

Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = - 3.$

Câu 8: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = \frac{x^{2} - 3 x - 4}{x^{2} - 16}

.
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

Lời giải chi tiết

TXĐ: $D = R ∖ {\pm 4}$ . Khi đó: $y = \frac{x^{2} - 3 x + 4}{x^{2} - 16} = \frac{(x + 1) (x - 4)}{(x - 4) (x + 4)} = \frac{x + 1}{x + 4} .$

Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là $x = - 4.$ Chọn D.

Câu 9: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = \frac{\sqrt{x + 9} + 3}{x^{2} + x}

là:
A. 3. B. 2. C. 0. D. 1.

Lời giải chi tiết

TXĐ: $D = [- 9; + \infty) ∖ {0; - 1} .$ .

Khi đó: $y = \frac{\sqrt{x + 9} + 3}{x^{2} + x} = \frac{\frac{x + 9 - 9}{\sqrt{x + 9} + 3}}{x (x + 1)} = \frac{1}{(x + 1) (\sqrt{x + 9} + 3)}$

Suy ra $lim_{x \to (- 1)} y = lim_{x \to (- 1)} \frac{1}{(x + 1) (\sqrt{x + 9} + 3)} \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là $x = - 1.$

Chọn D.

Câu 10: Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng?

y = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 1} .

y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} .

y = \sqrt{x^{2} - 1} .

y = \frac{x}{x + 1} .

Lời giải chi tiết

Phân tích các đáp án:

Đáp án A. Ta có $y = \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 1} = \frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 1} = x - 2$ nên hàm số không có tiệm cận đứng.

Đáp án B. Phương trình $x^{2} + 1 = 0$ vô nghiệm nên hàm số không có tiệm cận đứng.

Đáp án C. Đồ thị hàm số $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ không có tiệm cận đứng.

Đáp án D. Đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x + 1}$ có tiệm cận đứng là $x = - 1$ .Chọn D.

Câu 11: Cho hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1}$ . Đồ thị hàm số có mấy đường tiệm cận?

A. 1. B. 0. C. 2. D. 3.

Lời giải chi tiết

Hàm số có tập xác định: $D = (- \infty; 2] ∖ {0; 1}$

Khi đó $y = \frac{\sqrt{2 - x} - 1}{x (x^{2} - 4 x + 3)} = \frac{1 - x}{x (x - 1) (x - 3) (\sqrt{2 - x} + 1)} = - \frac{1}{x (x - 3) (\sqrt{2 - x} + 1)}$ .

Suy ra $x (x - 3) (\sqrt{2 - x} + 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ . Suy ra đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng. Chọn D.

Câu 12: Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{2 - x} - 1}{x (x^{2} - 4 x + 3)}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

A. 3. B. 0. C. 2. D. 1

Lời giải chi tiết

Hàm số có tập xác định $D = R ∖ {2; 3}$ .

Ta có: $y = \frac{{(2 x - 1)}^{2} - (x^{2} + x + 3)}{x^{2} - 5 x + 6} = \frac{3 x^{2} - 5 x - 2}{(x - 2) (x - 3) (2 x - 1 + \sqrt{x^{2} + x + 3})} = \frac{(3 x + 1)}{(x - 3) (2 x - 1 + \sqrt{x^{2} + x + 3})}$

Do vậy chỉ có đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chọn D.

Câu 13: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1 - \sqrt{x^{2} + x + 3}}{x^{2} - 5 x + 6}$ .

A. $x = - 3; x = - 2.$ B. $x = - 3.$ C. $x = 3; x = 2.$ D. $x = 3.$

Lời giải chi tiết

Hàm số có tập xác định $D = R ∖ {2; 3}$ .

Do vậy chỉ có đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Chọn D.

Câu 14: Tìm tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x - 1 - \sqrt{x + 3}}{x^{2} + 2 x - 3}$

A. $x = - 3$ . B. $x = - 1$ và $x = 3$ . C. $x = 1$ và $x = - 3.$ D. $x = 3$

Lời giải chi tiết

Hàm số có tập xác định $D = (- 3; + \infty) ∖ {1} .$

Khi đó $y = \frac{3 x - 1 - \sqrt{x + 3}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{{(3 x - 1)}^{2} - (x + 3)}{(x^{2} + 2 x - 3) (3 x - 1 + \sqrt{x + 3})} = \frac{9 x^{2} - 7 x - 2}{(x^{2} + 2 x - 3) (3 x - 1 + \sqrt{x + 3})}$

$\Leftrightarrow y = \frac{9 x + 2}{(x + 3) (3 x - 1 + \sqrt{x + 3})}$

Ta thấy $(x + 3) (3 x - 1 + \sqrt{x + 3}) = 0 \Leftrightarrow x = - 3 \Rightarrow$ Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x = - 3$ . Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập hay, có đáp án:

30 Bài tập Tìm tham số m để hàm số có tiệm cận (2024) cực hay, có đáp án

60 Bài tập về Đường tiệm cận (có đáp án năm 2024)

30 Bài tập về tiệm cận của hàm số (2024) cực hay, có đáp án chi tiết

30 Bài tập Giải phương trình bậc hai chứa tham số (2024) cực hay, có đáp án

20 Bài tập Cách giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m (2024) cực hay, có đáp án

Được cập nhật 24/01/2024 116 lượt xem

Bởi Trần Thơ

Chủ đề: Tổng hợp các dạng bài tập Toán Cách tính tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!

Bài viết cùng chủ đề

Tổng hợp các dạng bài tập Toán

30 bài tập các dạng phương trình hình học 2024 (có đáp án)

1900.edu.vn xin giới thiệu bài tập và tóm tắt lý thuyết Toán: các dạng phương trình hình học hay, chi tiết cùng với bài tập trắc nghiệm chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

510 5 tháng trước

Tổng hợp các dạng bài tập Toán

30 bài tập các dạng lượng giác 2024 (có đáp án)

1900.edu.vn xin giới thiệu bài tập và tóm tắt lý thuyết Toán: các dạng lượng giác hay, chi tiết cùng với bài tập trắc nghiệm chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12. Mời các bạn đón xem:

575 5 tháng trước

Tổng hợp các dạng bài tập Toán

30 bài tập các dạng đồ thị phương trình 2024 (có đáp án)

1900.edu.vn xin giới thiệu bài tập và tóm tắt lý thuyết Toán: các dạng đồ thị phương trình hay, chi tiết cùng với bài tập trắc nghiệm chọn lọc có đáp án giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12. Mời các bạn đón xem:

564 5 tháng trước

Cách tính tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (2024) chi tiết nhất

1900.edu.vn xin giới thiệu Cách tính tiệm cận đứng của đồ thị hàm số môn Toán hay, chi tiết nhất sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán tốt hơn. Mời các em tham khảo:

I. Phương pháp giải

II. Bài tập vận dụng

Bình luận (0)

Bài viết cùng chủ đề

30 bài tập các dạng phương trình hình học 2024 (có đáp án)

30 bài tập các dạng lượng giác 2024 (có đáp án)

30 bài tập các dạng đồ thị phương trình 2024 (có đáp án)

Nội dung bài viết