30 Bài tập về tiệm cận của hàm số (2024) cực hay, có đáp án chi tiết

Cách giải bài tập về tiệm cận của hàm số cực hay

Lý thuyết

1. Đường tiệm cận đứng

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $\left(a;+\infty \right)$; $\left(-\infty ;b\right)$ hoặc $\left(-\infty ;+\infty \right)$).

- Định nghĩa: Đường thẳng $x=x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$;$\underset{x\to {x_0}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$;

$\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$;$\underset{x\to {x_0}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

2. Đường tiệm cận ngang

- Định nghĩa: Đường thẳng $y=y_0$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$;$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

Chú ý:

- Đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d},\left(ad-bc\ne 0,c\ne 0\right)$ luôn có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt là $y=\frac{a}{c}$; $x=-\frac{d}{c}$.

- Nếu $y=f\left(x\right)=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ là hàm số phân thức hữu tỉ.

+ Nếu Q(x) = 0 có nghiệm là x₀, và x₀ không là nghiệm của P(x) = 0 thì đồ thị có tiệm cận đứng là .

+ Nếu bậc (P(x)) $\le$bậc (Q(x)) thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

Phương pháp giải và Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số  có đường tiệm cận ngang cắt đường thẳng d:y = x tại điểm A(1; 1).

Hướng dẫn

Nghiệm của tử thức 2x - 1 = 0 ⇔ x = 1/2.

Để đồ thị hàm số có tiệm cận thì x = 1/2 không là nghiệm của mẫu hay m.1/2 - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

Đường tiệm cận ngang y = 2/m

Phương trình hoành độ giao điểm của đường tiệm cận ngang y = 2/m và đường thẳng d:y = x là:

2/m = x

Mà hai đường này cắt nhau tại điểm A(1; 1) nên ta có 2/m = 1 ⇔ m = 2 (loại)

Vậy không tồn tại giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: Tìm trên đồ thị hàm số  những điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng bằng 3 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị

Hướng dẫn

Gọi M(a;(2a + 1)/(a - 1)) với a ≠ 1 là điểm thuộc đồ thị.

Đường tiệm cận đứng d₁: x = 1; đường tiệm cận ngang d₂:y = 2

Vì M cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số nên 

Với a = -2 thì tọa độ điểm M là M =(-2; 1)

Với a = 4 thì tọa độ điểm M là M =(4; 3)

Vậy các điểm cần tìm là M(-2; 1) và M(4; 3)

Ví dụ 3: Cho hàm số ) có đồ thị (C). Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.

Hướng dẫn

Để x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì x = 1 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay 2m.1 + m ≠ 0 ⇔ 3m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.

Đường tiệm cận đứng x = 1; đường tiệm cận ngang y = 2m

Vì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8 nên

(thỏa mãn)

Giá trị của tham số m cần tìm là m = 4; m = -4.

Bài tập vận dụng (có đáp án)

Câu 1: Tìm giá trị của tham số m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  đi qua điểm M(2; 3).

Lời giải:

Nghiệm của mẫu thức x = -m

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì x = -m thì x = -m không là nghiệm của phương trình 2x + 1 = 0. Khi đó 2.(-m) = 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1/2

Vì tiệm cận đứng đi qua điểm M(2; 3) nên 2 = -m ⇔ m = -2

Câu 2: Cho hàm số  có đồ thị (C). Biết tiệm cận ngang của (C) đi qua điểm A(-1; 2) đồng thời điểm I(2; 1) thuộc (C). Tìm giá trị của biểu thức P = m + n.

Lời giải:

Để x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì x = 1 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay m + n ≠ 0.

Đường tiệm cận ngang là y = m

Vì tiệm cận ngang của (C) đi qua điểm A(-1; 2) nên m = 2

Vì I∈(C) nên 1 = (2m + n)/(2 - 1) ⇒ 2m + n = 1 ⇔ n = 1 - 2m = -3

Khi đó P = m + n = 2 + (-3) = -1

Câu 3: Cho hàm số  có đồ thị (C). Gọi M(x₀; y₀) là điểm thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất của d.

Lời giải:

Gọi  thuộc đồ thị (C) với x₀ ≠ -2

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng Δ₁:x = 2; tiệm cận ngang Δ₂:y = 2

Ta có d(M; Δ₁ )= |x₀ - 2| và d(M; Δ₂ )= |y₀ - 2| = 1/|x₀ - 2|

Áp dung AM - GM ta được d(M; Δ₁ ) + d(M; Δ₂ ) = 

Vậy giá trị nhỏ nhất của d là 2.

Câu 4: Cho hàm số  có đồ thị (H). Tìm tích số các khoảng cách từ một điểm M tùy ý thuộc (H) đến hai đường tiệm cận của (H).

Lời giải:

Gọi ∈(C) với a ≠ -1

Đường tiệm cận đứng d₁:x = -1; đường tiệm cận ngang d₂:y = 2

Khi đó d(M;d₁ ).d(M;d₂ )=

Câu 5:Cho hàm số  có đồ thị (C). Với giá trị nào của m thì giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm M(x; y) sao cho tổng x.y < 0.

Lời giải:

Để x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì x = -2 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay (1 - m² )(-2) + 1 ≠ 0 

Đường tiệm cận đứng x = -2; đường tiệm cận ngang y = 1 - m² nên M(-2; 1 - m²)

Vì x.y < 0 ⇒ (-2)(1 - m² )< 0 ⇔ 1 - m² > 0 ⇔ -1 < m < 1

Kết hợp điều kiện: Giá trị của tham số m thỏa mãn là 

Câu 6: Cho hàm số  có đồ thị (C). Với giá trị nào của m thì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 2016.

Lời giải:

Để x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì x = 2 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay 4m.2 + 3m ≠ 0 ⇔ 11m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0.

Đường tiệm cận đứng x = 2; đường tiệm cận ngang y = 4m

Vì đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 2016 nên

 (thỏa mãn)

Giá trị của tham số m cần tìm là m = 252; m = -252.

Câu 7: Cho hàm số  có đồ thị (C). Gọi P, Q là hai điểm phân biệt nằm trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ P hoặc Q tới hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Tim độ dài đoạn thẳng PQ.

Lời giải:

Gọi  thuộc đồ thị (C) với x₀ ≠ 2

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng Δ₁:x = 2; tiệm cận ngang Δ₂:y = 1

Ta có d(P; Δ₁ ) = |x₀ - 2| và d(P; Δ₂ ) = |y₀ - 1| = 4/|x₀ - 2|

Áp dung AM - GM ta được d = d(P; Δ₁ ) + d(P; Δ₂ ) = |x₀ - 2| + 4/|x₀ - 2| ≥4

⇒ giá trị nhỏ nhất của d là 2. Dấu “=” xảy ra khi |x₀ - 2| = 4/|x₀ - 2|

Với x₀ = 0 ⇒ y₀ = -1 ⇒ P(0; -1)

Với x₀ = 4 ⇒ y₀ = 3 ⇒ Q(4; 3)

Khi đó độ dài đoạn thẳng PQ là 

Câu 8: Cho hàm số  có đồ thị (C). Tìm điểm thuộc đồ thị (C) cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số.

Lời giải:

Gọi ∈(C) với a ≠ 1 là tọa độ điểm cần tìm

Đường tiệm cận đứng d₁:x = 1; đường tiệm cận ngang d₂:y = 1

Vì M cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số nên 

Với a = √2 + 1 thì tọa độ điểm M cần tìm là M = (√2 + 1; √2 + 1)

Với a = -√2 + 1 thì tọa độ điểm M cần tìm là M = (-√2 + 1; -√2 + 1)

Vậy có hai điểm cần tìm M = (√2 + 1; √2 + 1) và M = (-√2 + 1; -√2 + 1)

Bài tập tự luyện (có đáp án)

Câu 1: Cho đường cong (C): . Tích số các khoảng cách từ một điểm bất kì trên (C) đến hai đường tiệm cận của (C) bằng:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Lời giải:

Đáp án :

Giải thích :

Gọi ∈(C) với a ≠ 1

Đường tiệm cận đứng d₁:x = 1; đường tiệm cận ngang d₂:y = 3

Khi đó d(M; d₁ ).d(M; d₂ ) =  .

Câu 2:Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số :  có đường tiệm cận đứng đi qua điểm M(-1; √2).

A. m = 2

B. m = 0

C. m = 1/2

D. m = √2/2

Lời giải:

Đáp án :

Giải thích :

Nghiệm của mẫu thức x = -m/2. Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì x = -m/2 không là nghiệm của tử hay -m/2.m-1 ≠ 0 ⇔ m² + 2 ≠ 0 (luôn đúng).

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = -m/2

Để tiệm cận đứng đi qua điểm M(-1; √2) thì -1 = -m/2 ⇔ m = 2.

Câu 3: Cho hàm số  có đồ thị (C). Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3 và đi qua điểm A(2; 5) thì phương trình hàm số là:

A.

B.

C. 

D. 

Lời giải:

Đáp án :

Giải thích :

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3 thì x = 3 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay 

Để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 5) thì 5 = (2m + 1)/(2 + n) ⇔ 10 + 5n = 2m + 1 ⇔ m = -3

Khi đó phương trình hàm số là .

Câu 4: Cho hàm số  có đồ thị (C) và điểm A(1; 2). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị (C). Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm I và A nhỏ nhất?

A. m = -1

B. m = -2

C. m = 1

D. m = 2

Lời giải:

Đáp án :

Giải thích :

Điều kiện có các đường tiệm cận là m ≠ -1

Đường tiệm cận đứng x = m; đường tiệm cận ngang y = 1. Suy ra I(m; 1)

Ta có . Suy ra AI nhỏ nhất khi m = 1

Vậy m = 1.

Câu 5: Cho hàm số  có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C) cắt đường thẳng (d):y = -x - 3 tại điểm có hoành độ bằng -1.

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải:

Đáp án :

Giải thích :

Điều kiện để có các đường tiệm cận là m² - 3m + 1 ≠ 0

Đường tiệm cận ngang là: y = m² - 3m

Phương trình hoành độ giao điểm của đường tiệm ngang y = m² - 3m và đường thẳng (d):y = -x - 3 là: m² - 3m = -x - 3

Vì giao điểm có hoành độ bằng -1 nên ta có

m² - 3m = 1 - 3  (thỏa mãn)

Câu 6: Cho hàm số  giá trị m để hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 1/3 là:

A. m = 3/4

B. m = ±3/4

C. m = -4/3

D. m = -3/4

Lời giải:

Đáp án :

Giải thích :

Nghiệm của mẫu thức là x = 2/3. Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và ngang thì x = 2/3 không là nghiệm của tử thức hay 2m.2/3 + 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ -9/4.

Đường tiệm cận ngang y = -2m/3; đường tiệm cận đứng x = 2/3

Vì hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 1/3 nên

Câu 7: Cho hai hàm số . Tập hợp các giá trị của tham số m để hai đường tiệm cận đứng của hai đồ thị hàm số trên trùng nhau là:

A. {-2; 2}

B. {-1; 2}

C. {0}

D. {2; 3}

Lời giải:

Đáp án :

Giải thích :

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  là x = m² - 8

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  là x = -4

Nên để đường tiệm cận đứng của hai đồ thị hàm số trên trùng nhau thì

m² - 8 = -4 ⇔ m = ±2

Câu 8: Cho hàm số  có đồ thị (C). Với giá trị nào của m thì giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm M(x; y) sao cho tổng x + y = -3

A. m = 1

B. m = -1

C. m = 0

D. m = √2

Lời giải:

Đáp án :

Giải thích :

Điều kiện để có hai đường tiệm cận là (m² - 1).(-2) + 1 ≠ 0 ⇔ m² ≠ 3/2

Đường tiệm cận đứng x = -2; đường tiệm cận ngang y = m² - 1.

Khi đó M(-2; m² - 1)

Vì điểm M thỏa mãn x + y = -3 nên -2 + m² - 1 = -3 ⇔ m² = 0 ⇔ m = 0

Câu 9: Cho hàm số  có đồ thị (C). Với giá trị nào của m thì giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm M(x; y) thuộc vào đường thẳng y = x. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. m = -√2

B. m = -1

C. m = ±2

D. m = √2

Lời giải:

Đáp án :

Giải thích :

Điều kiện để có hai đường tiệm cận là (m² - 1).3 + 1 ≠ 0 ⇔ m² ≠ 2/3

Đường tiệm cận đứng x = 3; đường tiệm cận ngang y = m² - 1. Khi đó M(3; m² - 1)

Vì điểm M thuộc vào đường thẳng y = x nên ta có m² - 1 = 3 ⇔ m = ±2.

Câu 10: Cho hàm số  có đồ thị (C). Với giá trị nào của m thì giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm M(x; y) sao cho OM = 3. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. m = 0

B. m = 1

C. m = -3

D. m = 3

Lời giải:

Đáp án :

Giải thích :

Điều kiện để có hai đường tiệm cận là 3m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1/3

Đường tiệm cận đứng x = 3; đường tiệm cận ngang y = m nên M(3; m)

Ta có .

Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai trục tọa độ và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 

A. S = 3

B. S = 9

C. S = 3/2

D. S = 6

Lời giải:

Đáp án :

Giải thích :

Đường tiệm cận đứng x = 3; đường tiệm cận ngang y = 2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai trục tọa độ và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số  chính là diện tích hình chữ nhật có kích thước là 2 và 3.

Khi đó S = 2.3 = 6.

Câu 12: Giả sử đường thẳng d:x = a(a > 0) cắt đồ thị hàm số  tại một điểm duy nhất, biết khoảng cách từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số bằng 1; ký hiệu (x₀; y₀) là tọa độ của điểm đó. Tìm y₀

A. y₀ = -1

B. y₀ = 5

C. y₀ = 1

D. y₀ = 2

Lời giải:

Đáp án :

Giải thích :

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  là Δ:x = 1

Gọi  là giao điểm của đường thẳng d và đồ thị hàm số (C).

Ta có 

Với a = 2 thì tọa độ điểm M là M(2; 5).

Câu 13: Cho hàm số . Tìm điểm M trên (C) để khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng của đồ thị (C) bằng khoảng cách từ M đến trục Ox

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải:

Đáp án :

Giải thích :

Gọi  với a ≠ 1 là điểm thuộc đồ thị.

Đường tiệm cận đứng d:x = 1

Yêu cầu bài toán 

Với a = 0 thì điểm M cần tìm là M = (0; -1)

Với a = 4 thì điểm M cần tìm là M = (4; 3)

Câu 14: Cho hàm số  có đồ thị (C). Gọi (d) là tiếp tuyến bất kì của (C), (d) cắt hai đường tiệm cận của đồ thị (C) lần lượt tại A, B. Khi đó khoảng cách giữa A và B ngắn nhất bằng:

A. 4

B. 3√2

C. 2√2

D. 3√3

Lời giải:

Đáp án :

Giải thích :

Đường tiệm cận đứng Δ₁:x = 2 và đường tiệm cận ngang Δ₁:y = 2

Gọi 

Phương trình tiếp tuyến tại M là Δ:

Tiếp tuyến Δ cắt Δ₁ tại  và Δ cắt Δ₂ tại A(2x₀ - 2; 2)

Ta có

Vậy AB ngắn nhất bằng 4.

Câu 15: Cho hàm số  có đồ thị (C). Gọi M là một điểm bất kì của (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận của (C). Tính diện tích của tam giac IAB.

A. 2    B. 12     C. 4     D. 6

Lời giải:

Đáp án :

Giải thích :

Tập xác định D = R\{1}. Ta có  ∀ x ≠ 1.

(C) có tiệm cận đứng d₁:x = 1 và tiệm cận ngang d₂:y = 2 nên I(1; 2).

Gọi 

Tiếp tuyến Δ của (C) tại M có phương trình y = f'(x₀ )(x - x₀ ) + f(x₀)

Δ cắt d₁ tại  và cắt d₂ tại B(2x₀ - 1; 2 )

Ta có

Do đó