60 Bài tập về Đường tiệm cận (có đáp án năm 2024)

Đường tiệm cận

Kiến thức cần nhớ 

1. Đường tiệm cận ngang

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $(a;+\infty );(-\infty ;b);$$\hspace{0.17em}(-\infty ;+\infty )$). Đường thẳng y = y₀ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0;\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$

Ví dụ 1. Cho hàm số $y=\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}$.

Hàm số xác định trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$.

Đồ thị hàm số  có tiệm cận ngang là y = 0 vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}=0;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x^2+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}=0\hspace{0.17em}$

2. Đường tiệm cận đứng

- Định nghĩa:

Đường thẳng x = x₀ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

- Ví dụ 2. Tìm đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x\text{\hspace{0.17em}}+2}{x-4}$.

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x-4}=1;$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+\text{}2}{x-4}=1$ nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.

Lại có: $\underset{x\to 4_{}^{+}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x-4}=+\infty ;$$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x-4}=-\infty ;$

Suy ra: đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 4.

Các dạng bài tập về đường tiệm cận

(Xem thêm trong file pdf)

Dạng 1. Xác định đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên

Dạng 2. Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông hàm số cho trước

Dạng 3. Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 4. Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số g[f(x)] khi biết bảng biến thiên hàm số f(x)

Bài tập có hướng dẫn giải

1. Bài tập vận dụng

Bài 1. Tìm các đường tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

Bài 2. Tìm các đường tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau:

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{x\to 5_{}^{+}}{\lim }\frac{3-x}{x-5}=-\infty ;$$\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{3-x}{x-5}=+\infty ;$

Suy ra: đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 5.

b) Ta có: x² – 5x + 4 = (x – 4)(x – 1)

Khi đó:

$\begin{array}{l}\underset{x\to 4_{}^{+}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{x^2-5x+\text{}4}=+\infty ;\\ \underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{x^2-5x+\text{}4}=-\infty ;\\ \underset{x\to 1_{}^{+}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{x^2-5x+\text{}4}=-\infty ;\\ \hspace{0.17em}\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}1}{x^2-5x+\text{}4}=+\infty ;\end{array}$

Suy ra: đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 4 và x = 1.

c) Ta có:

$$\begin{gathered} y=\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x^2+\text{}3x+2} \\ =\frac{x+\text{}2}{(x+\text{}1).(x+\text{}2)}=\frac{1}{x+1} \end{gathered}$$

$\begin{array}{l}\underset{x\to -1_{}^{+}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x^2+\text{}3x+2}\\ =\underset{x\to -1_{}^{+}}{\lim }\frac{x+\text{}2}{(x+\text{}1).(x+\text{}2)}\\ =\underset{x\to -1_{}^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}=+\infty ;\\ \underset{x\to -1_{}^{-}}{\lim }\frac{x+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}2}{x^2+\text{}3x+2}\\ =\underset{x\to -1_{}^{-}}{\lim }\frac{x+\text{}2}{(x+\text{}1).(x+\text{}2)}\\ =\underset{x\to -1_{}^{-}}{\lim }\frac{1}{x+1}=-\infty ;\end{array}$

Do đó, đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận đứng là x = – 1.

Bài 3. Đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x+1}{x^2-\text{x}-6}$ có bao nhiêu tiệm cận?

Lời giải:

Nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là x = 3 và x = – 2.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 tiệm cận (gồm 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang).

Bài 4 Đồ thị hàm số y = x³ - mx² + 2 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải:

Bài 5: Đồ thị hàm số

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải:

Suy ra, y = 1; y = -1 là hai đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

Bài 6: Đồ thị hàm số

có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải:

Ta có:

Do đó, đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y= 2; y = -2

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 4 đường tiệm cận.

Bài 7: Tìm m để đồ thị hàm số

có ba đường tiệm cận

Lời giải:

Nên đồ thị hàm số có 1 cận ngang là y= 0

Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận khi đồ thị hàm số có 2 TCĐ

⇒ phương trình x² - 2mx + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -1.

Bài 8: Đồ thị hàm số

có bao nhiêu đường tiệm cận?

Lời giải:

Suy ra x = 1 và là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.

Bài 9: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Đồ thị hàm số

có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số

có một tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang

C. Đồ thị hàm số

có tiệm cận đứng x = 3 và tiệm cận ngang

D. Đồ thị hàm số

có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.

Lời giải:

Bài 10: Cho hàm số

có đồ thị (C). Chọn mệnh đề đúng trong các

mệnh đề sau:

A. Đường y = 2 là một tiệm cận ngang của (C).

B. Đường y = 1 là một tiệm cận ngang của (C).

C. Đường x = - 2 là một tiệm cận đứng của (C).

D. Đường x = 3 là một tiệm cận ngang của (C).

Lời giải:

Ta có

=> y = 1 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

=> y = 3 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

=> x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

2 Bài tập tự luyện có hướng dẫn

Câu 1: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 

Lời giải:

Ta có

 ⇒ y = -3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

 ⇒ x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 2: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Lời giải:

Ta có

 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 3: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 

Lời giải:

Ta có

⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

⇒ x = 1; x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 4: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm 

Lời giải:

Ta có

⇒ y = 1/2; y = -1/2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 5: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 

Lời giải:

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu 6: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Lời giải:

Ta có:

⇒ y = 0; y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

⇒ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 7: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Lời giải:

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

⇒ y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

60 Bài tập về Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về phương trình mặt phẳng (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về Tích phân (có đáp án năm 2024)

60 Bài tập về Nguyên hàm ( có đáp án năm 2023 )

60 Bài tập về Lôgarit (có đáp án năm 2023)