30 Bài tập Tìm tham số m để hàm số có tiệm cận (2024) cực hay, có đáp án

Tìm tham số m để hàm số có tiệm cận

1. Phương pháp giải

Đối với bài toán chứa tham số, để biện luận số tiệm cận hay tìm điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận thỏa mãn điều kiện nào đó, ta thường thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số không suy biến.
+ Bước 2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
+ Bước 3: Giải điều kiện của bài toán để tìm tham số.
+ Bước 4: Kết luận.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. (THPT Chuyên Bảo Lộc – Lâm Đồng 2017). Cho hàm số . Đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Tính giá trị biểu thức P = m + n.

Hướng dẫn

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = m + 1 và tiệm cận đứng x = n - 1. Do đó đồ thị hàm số nhận trục tung x = 0 và trục hoành y = 0 làm tiệm cận khi và chỉ khi

Ví dụ 2 (THPT chuyên Thái Nguyên 2017 L2). Tìm m để đồ thị hàm số  có hai đường tiệm cận đứng.

Hướng dẫn

Ta có x² - 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2

Để hai đường thẳng x = 1 và x = 2 là đường tiệm cận của đồ thị hàm số thì x = 1 và x = 2 không là nghiệm của tử số mx³ - 2. Tức là:

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số  có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng.

Hướng dẫn

Ta có  nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Do đó để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng thì

phương trình x² - 4x + m = 0 vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ 4 - m < 0 ⇔ m > 4

3. Bài tập vận dụng  (có đáp án)

Câu 1: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số  nhận đường thẳng y = 1 làm tiệm cận ngang.

Lời giải:

Nghiệm của mẫu thức x = 2. Để đồ thị hàm số có tiệm cận thì x = 2 không là nghiệm của phương trình mx + 1 = 0 hay 2m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1/2

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = -m/2

Để đồ thị hàm số nhận y = 1 làm tiệm cận ngang thì -m/2 = 1 ⇔ m = -2 (thỏa mãn)

Vậy giá trị tham số m cần tìm là m = -2

Câu 2: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số  nhận đường thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng.

Lời giải:

Nghiệm của tử thức x = -1/3. Để đồ thị hàm số có tiệm cận thì x = -1/3 không là nghiệm của phương trình m - 2x = 0 hay m - 2.(-1/3) ≠ 0 ⇔ m ≠ -2/3

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = m/2

Để đồ thị hàm số nhận x = 1 làm tiệm cận đứng thì m/2 = 1 ⇔ m = 2

Vậy giá trị tham số m cần tìm là m = 2

Câu 3: Cho hàm số . Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 2; y = 2 lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Biểu thức 9m² + 6mn + 36n² có giá trị là bao nhiêu?

Lời giải:

Để x = 2 làm tiệm đứng của đồ thị hàm số thì x = 2 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay

Để y = 2 làm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số thì m/n = 2 ⇔ m = 2n

Giải hệ 

Biểu thức 9m² + 6mn + 36n² = 9.(1/3)² + 6. 1/3.1/6 + 36.(1/6)² = 7/3

Câu 4:Tìm giá trị của m và n để đồ thị hàm số  nhận đường thẳng x = 2 làm tiệm cận đứng và đường thẳng y = 2 làm tiệm cận ngang.

Lời giải:

Để x = 2 làm tiệm đứng của đồ thị hàm số thì x = 2 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay

Để y = 2 làm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số thì m = 2

Vậy m = 2; n = -2

Câu 5: (Sở GD Bắc Giang 2017 L2). Tìm tập hợp các giá trị m để đồ thị hàm số  có đúng một đường tiệm cận.

Lời giải:

Ta có nghiệm của tử thức x = 1/2

Vì  ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang.

Để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận thì phương trình 4x^2+4mx+1=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép và nghiệm đó bằng 1/2

Nếu phương trình 4x² + 4mx + 1 = 0 vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ 4m² - 4 < 0 ⇔ -1 < m < 1

Nếu phương trình 4x² + 4mx + 1 = 0 có nghiệm kép bằng -1/2

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là -1 ≤ m < 1

Câu 6: (THPT Hai Bà Trưng – Huế 2017). Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị tham số m để đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.

Lời giải:

Ta có  ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang.

Nghiệm của tử thức x = -3

Để đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang thì x² - 6x + m = 0 chỉ có một nghiệm khác -3 hoặc có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm bằng -3.

Trường hợp 1: Phương trình x² - 6x + m = 0 chỉ có một nghiệm khác -3

Trường hợp 2: Phương trình x² - 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm bằng -3.

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 9; m = -9.

Câu 7: (THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2017 L3). Tìm các giá trị của tham số m sao cho đồ thị hàm số  có tiệm cận ngang.

Lời giải:

Nếu m = 0 thì y = x + 1. Suy ra đồ thị của nó không có tiệm cận ngang.

Nếu m < 0 thì hàm số xác định, ⇔ mx² + 1 ≥ 0 ⇔ (-1)/√(-m) ≤ x ≤ 1/√(-m)

Do đó,  không tồn tại nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Với 0 < m < 1 thì 

 nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Với m = 1 thì 

Suy ra đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → -∞

Với m>1 thì 

 nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 1

Câu 8: (THPT Chuyên ĐHSPHN 2017) Tìm tập hợp các giá trị thực của m để đồ thị hàm số

 có đúng một đường tiệm cận.

Lời giải:

Do  nên đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y = 0. Để đây là tiệm cận duy nhất của đồ thị thì có hai trường hợp xảy ra

m = 0:) chỉ có tiệm cận ngang là y = 0

m ≠ 0, hai phương trình mx² - 2x + 1 = 0; 4x² + 4mx + 1 vô nghiệm. Tức là 1 - m < 0 và 4m² - 4 < 0  (Vô lí)

Vậy không có giá trị m thỏa mãn

4. Bài tập trắc nghiệm (có đáp án)

Câu 1: Biết đồ thị hàm số  có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = 0. Tính a + 2b

A. 6

B. 7

C. 8

D. 10

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Vì đồ thị hàm số  nhận x = 1 làm tiệm cận đứng nên x = 1 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay

Vì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0 nên a - 2b = 0 ⇔ a = 2b = 4

Vậy a + 2b = 4 + 2.2 = 8.

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số  nhận đường thẳng y = 8 làm tiệm cận ngang

A. m = 2

B. m = -2

C. m = ±2

D. m = 0

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Do  nên đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y = 2m²

Cho 2m² = 8 ⇔ m = ±2.

Câu 3: Biết rằng đồ thị hàm số  nhận hai trục tọa độ làm hai đường tiệm cận. Tính tổng S = m² + n² - 2

A. S = 2

B. S = 0

C. S = -1

D. S = 1

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có hàm số  là hàm phân thức nên nhận y = m - 2n - 3 là tiệm cận ngang và x = m + n là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì đồ thị hàm số nhận x = 0; y = 0 làm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang nên ta có:

Khi đó S = m² + n² - 2 = 1 + 1 - 2 = 0.

Câu 4: (THPT Lý Thái Tổ - Hà Nội 2017 L4). Tìm m để đồ thị hàm số  có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1

A. m = 2

B. m = 5/2

C. m = 0

D. m = 1

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Ta có hàm số  là hàm phân thức nên nhận y = (m + 1)/2 là tiệm cận ngang.

Cho (m + 1)/2 = 1 ⇒ m = 1.

Câu 5: (THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa 2017 L3). Biết đồ thị hàm số  nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận thì giá trị của a + b là:

A. 2

B. 10

C. 15

D. -10

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Vì đồ thị hàm số  nhận x = 0 làm tiệm cận đứng nên x = 0 là nghiệm của mẫu nhưng không là nghiệm của tử hay

Vì đồ thị hàm số nhận y = 0 làm tiệm cận ngang nên ta có 4a - b = 0 ⇒ a = b/4 = 3

Khi đó a + b = 15.

Câu 6: (Sở GD Hải Dương 2017). Biết đồ thị hàm số  nhận trục hoành và trục tung làm hai đường tiệm cận. Tính m + n

A. 2

B. 8

C. -6

D. 9

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Ta có:

 = 2m - n, đồ thị hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận khi và chỉ khi 2m - n = 0

Do đồ thị hàm số nhận trục tung x = 0 làm tiệm cận nên x = 0 là nghiệm của x² + mx + n - 6 = 0. Suy ra n - 6 = 0

Do đó m = 3, n = 6 ⇒ m + n = 9.

Câu 7: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số  không có tiệm cận đứng là:

A. m = 0

B. m = 1; m = 2

C. m = 0; m = 1

D. m = 1

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Nghiệm của mẫu thức x = m. Để hàm số không có tiệm cận đứng thì:

Câu 8: Giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số  có ba đường tiệm cận là:

A. m ∈ (-∞; -2) ∪ (2; +∞)

B. m ∈ (-∞; -5/2) ∪ (-5/2; -2)

C. m ∈ (-∞; -5/2) ∪ (-5/2; -2) ∪ (2; +∞)

D. m ∈ (2; +∞)

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Ta có ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Do đó yêu cầu bài toán  phương trình x² - 2mx + 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -1.

Câu 9: Tất cả các giá trị thực của tham số a để đồ thị hàm số  có đúng một tiệm cận đứng.

A. a = ±√(3/2)

B. a = 0; a = 3

C. a = 1; a = 2

D. a = ±2

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Yêu cầu bài toán  3x² - 2ax + a = 0 có nghiệm duy nhất  Δ' = a² - 3a = 0 

Câu 10: Tất cả các giá trị thực của tham số a để đồ thị hàm số  có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng.

A. m < 4

B. m > 4

C. m = 4; m = -12

D. m = 4

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Ta có  nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Yêu cầu bài toán  phương trình x² - 4x + m = 0 có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng -2

Nếu x² - 4x + m = 0 có nghiệm kép thì Δ' = 4 - m = 0 ⇔ m = 4

Nếu x² - 4x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng -2 thì

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = 4; m = -12.

Câu 11: (THPT Sào Nam – Quảng Nam 2017). Cho hàm số . Giá trị của m để đồ thị hàm số có đúng 3 tiệm cận là:

A. m = 0

B. m < 0

C. m > 0

D. m ∈ R

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Ta có  nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Để đồ thị hàm số có đúng 3 tiệm cận thì phương trình x² - m = 0 ⇔ x² = m có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m >0.

Câu 12: Giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số  có tiệm cận đứng

A. Không tồn tại m

B. 

C. m ∈ R

D. 

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Nghiệm của mẫu thức x = 2

Để đồ thị hàm số  có tiệm cận đứng thì x = 2 không phải là nghiệm của phương trình x² - mx - 2m² = 0

Khi đó ta có 2² - 2m - 2m² ≠ 0 ⇔ 2m² + 2m - 4 ≠ 0 

Câu 13: Xác định giá trị của tham số m để đồ thị hàm số  có đúng hai tiệm cận đứng

A. m < 3/2; m ≠ 1; m ≠ -3

B. m > -3/2; m ≠ 1

C. m > -3/2

D. m < 3/2

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng thì phương trình x² + 2(m - 1)x + m² - 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Xét 

Để hàm số có hai tiệm cận ngang thì -1 - m ≠ 1 - m ⇔ -1 ≠ 1 (luôn đúng)

Câu 14: Đồ thị hàm số  có hai đường tiệm cận ngang khi

A. m ∈ R

B. m = 1

C. m = 0; m = 1

D. m = 0

Lời giải:

Đáp án : A

Câu 15: Đồ thị hàm số  có đường tiệm cận đứng khi

A. m ≠ 0     B. m ∈ R     C. m ≠ -1     D. m ≠ 1

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Xét phương trình 

Nếu phương trình không có nghiệm x = 1 thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1

Nếu phương trình có nghiệm x = 1 thì m = -1

Khi đó xét giới hạn  nên trong trường hợp này đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Vậy m ≠ -1.

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

60 Bài tập về Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (có đáp án năm 2023)

30 Bài tập về tiệm cận của hàm số (2024) cực hay, có đáp án chi tiết

60 Bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (có đáp án năm 2024)

60 Bài tập về Cực trị của hàm số (có đáp án năm 2024)

60 Bài tập về Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (có đáp án năm 2024)