70 Bài tập về dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11

1900.edu.vn xin giới thiệu: Tổng hợp các dạng bài tập dãy số Toán 11. Đây sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích, giúp các bạn học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học, tự luyện tập nhằm học tốt môn Toán 11, giải bài tập Toán 11 tốt hơn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây.

Kiến thức cần nhớ

a) Định nghĩa dãy số

- Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

Kí hiệu: u  :  *  

n      u(n).

Dạng khai triển: u1; u2; u3 ;... ; un ;...

Trong đó ta gọi: u1 là số hạng đầu, un = u(n) là số thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số.

- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3;... ;m} với m* được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của nó là u1; u2; u3 ;... ; um , trong đó u1 là số hạng đầu và um là số hạng cuối. 

- Ba cách cho một dãy số:

+ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.

+ Cho dãy số bằng phương pháp mô tả.

+ Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.

b) Dãy số tăng, dãy số giảm 

- Dãy số (un) được gọi là tăng nếu un+1>un với mọi n*.

- Dãy số (un) được gọi là giảm nếu un+1<un với mọi n*.

c) Dãy số bị chặn

- Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho unM,n*.

- Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho unm,n*.

- Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho munM,n*.

Các dạng bài tập về dãy số 

Dạng 1: Tìm số hạng của dãy số

Phương pháp giải:

Bài toán 1: Cho dãy số (un): un = f(n) (trong đó f(n) là một biểu thức của n). Hãy tìm số hạng uk.

→ Thay trực tiếp n = k vào uk để tìm.

Bài toán 2: Cho dãy số (un) cho bởi u1=aun+1=f(un) (với f(un) là một biểu thức của un). Hãy tìm số hạng uk.

→ Tính lần lượt u2 ; u3 ;... ; uk bằng cách thế u1 vào u2, thế u2 vào u3, …, thế uk-1 vào uk.

Bài toán 3: Cho dãy số (un) cho bởi u1=a,u2=bun+2=c.un+1+d.un+e. Hãy tìm số hạng uk.

→ Tính lần lượt u3 ; u4;... ; uk bằng cách thế u1; uvào u3; thế u2;uvào u4; … ; thế uk -2; uk-1 vào uk.

Bài toán 4: Cho dãy số (un) cho bởi u1=aun+1=fn,un. Trong đó f({n; un)}) là kí hiệu của biểu thức un + 1 tính theo un và n. Hãy tìm số hạng uk.

→ Tính lần lượt u2 ; u3 ;... ; uk bằng cách thế {1;u1} vào u2; thế {2;u2} vào u3; … ; thế {k-1;uk-1} vào uk.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho dãy số (un) được xác định bởi un=n2+3n+7n+1. Viết năm số hạng đầu của dãy.

Lời giải

Ta có năm số hạng đầu của dãy

u1=12+3.1+71+1=112u2=22+3.2+72+1=173u3=32+3.3+73+1=254u4=42+3.4+74+1=7u5=52+3.5+75+1=476

Vậy năm số hạng đầu của dãy là: 112;173;254;7;476.

Ví dụ 2: Cho dãy số (un) được xác định như sau: u1=0un+1=nn+1un+1. Tìm số hạng u11.

A. u11=112.

B. u11 = 4.

C. u11=92.

D. u11 = 5.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

 u2=12(u1+1)=12u3=23(u2+1)=1u4=34(u3+1)=32u5=45(u4+1)=2u6=56(u5+1)=52u7=67(u6+1)=3u8=78(u7+1)=72u9=89(u8+1)=4u10=910(u9+1)=92u11=1011(u10+1)=5

Ví dụ 3: Cho dãy số (un) được xác định như sau: u1=1;u2=2un+2=2un+1+3un+5. Tìm số hạng u8.

A. u8 = 3050.

B. u8 = 5003.

C. u8 = 3500.

D. u8 = 3005.

Lời giải

Chọn D

Ta có:

u3 = 2u+ 3u+ 5 = 12           

u= 2u+ 3u+ 5 = 35            

u5 = 2u4 + 3u3 + 5 = 111

u6 = 2u+ 3u+ 5 = 332         

u= 2u6 + 3u5 + 5 = 1002       

u8 = 2u7 + 3u6 + 5 = 3005

Dạng 2: Xét tính tăng giảm của dãy số

Phương pháp giải   

Cách 1: Xét hiệu un+1 – un

- Nếu un+1un>0n* thì (un) là dãy số tăng.

- Nếu un+1un<0n* thì (un) là dãy số giảm.

Cách 2: Khi un>0n*, ta xét tỉ số un+1un

- Nếu un+1un>1 thì (un) là dãy số tăng.

- Nếu un+1un<1 thì (un) là dãy số giảm.

Cách 3: Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh un+1>unn* (hoặc un+1<unn*)

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số

- Dãy số (un) có un = an + b tăng khi a > 0 và giảm khi a < 0

- Dãy số (un) có un = qn

+ Không tăng, không giảm khi q < 0

+ Giảm khi 0 < q < 1

+ Tăng khi q > 1

- Dãy số (un) có un=an+bcn+d với điều kiện  

+ Tăng khi ad – bc > 0

+ Giảm khi ad – bc < 0

- Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

- Nếu dãy số (un) tăng hoặc giảm thì dãy số (qn. un) (với q < 0) không tăng, không giảm.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau n*:

a) un = 3n + 6

b) un=n+5n+2

c) un=nn21

Lời giải

a) Ta có un=3n+6un+1=3n+1+6=3n+9

Xét hiệu 

un+1un=3n+93n+6=3>0n*

Vậy (un) là dãy số tăng.

b) Ta có un=n+5n+2un+1=n+1+5n+1+2=n+6n+3

Xét hiệu

un+1un=n+6n+3n+5n+2=n+6n+2n+5n+3n+2n+3

=3n+2n+3<0 (do n là số tự nhiên)

Vậy (un) là dãy số giảm.

c) Ta có un=nn21un+1=n+1n+121

un+1un=n+1n+121nn21=1n+1+n+1211n+n21<0

Vậy (un) là dãy số giảm.

Ví dụ 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau n*:

a) un=5nn2

b) un=2nn!

c) un=n2+n+1

Lời giải

a) Ta có un=5nn2>0n*un+1=5n+1n+12

Xét tỉ số un+1un=5n+1n+12.n25n=5n2n2+2n+1

=n2+2n+1+4n22n1n2+2n+1=1+2nn1+2n21n2+2n+1>1,n*

Vậy (un) là dãy số tăng.

b) un=2nn!>0n*un+1=2n+1n+1!

Ta có: 

un+1un=2n+1(n+1)!:2nn!=2n+1(n+1)!.n!2n=2n+1<1  n*

Vậy (un) là dãy số giảm.

c) un=n2+n+1

Ta có: un=n2+n+1>0  n*

un+1=n+12+n+1+1

un+1un=(n+1)2+(n+1)+1n2+n+1=n2+3n+3n2+n+1>1 n*

Vậy (un) là dãy số tăng.

Dạng 3: Xét tính bị chặn của hàm số

Phương pháp giải:

Cách 1: Dãy số (un) có un = f(n) là hàm số đơn giản.

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức un=f(n)M,n* hoặc un=f(n)m,n*

Cách 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh

Chú ý: Nếu dãy số (un) giảm thì bị chặn trên, dãy số (un) tăng thì bị chặn dưới

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn

Dãy số (un) có un=qn   q1 bị chặn

Dãy số (un) có un=qn  q<1 không bị chặn

Dãy số (un) có un = qn với q > 1 bị chặn dưới

Dãy số (un) có un = an + b bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a <0

Dãy số (un) có un = an2 + bn 8+ c bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0

Dãy số (un có un = amnm + am-1nm-1 +... + a1n + a0 bị chặn dưới nếu am > 0 và bị chặn trên nếu am < 0

Dãy số (un) có un=PnQn trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P(n) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Q(n)

Dãy số (un) có un=PnQn trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của P(n) lớn hơn bậc của Q(n).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính bị chặn của dãy số sau (với n*):

a) un=4n+5n+1

b) un = 3n – 1

c) un=n3n2+1

Lời giải

a) un=4n+5n+1

Ta có un=4n+5n+1>0,n*

Mặt khác

un=4n+5n+1=4(n+1)+1n+1=4+1n+14+12=92un92,n*

Suy ra 0<un92,n*

Vậy dãy số (un) bị chặn

b) un = 3n - 1

Ta có: 

n13n33n12un2  n*

Vậy (un) bị chặn dưới; không bị chặn trên.

c) un=n3n2+1

Ta có un=n3n2+1>0,  n*

Vậy (un) bị chặn dưới, không bị chặn trên do bậc của tử cao hơn bậc mẫu.

Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của dãy số sau:

a) u1=1un+1=12un1

b) un=12+122+132+...+1n2

Lời giải

a) u1=1un+1=12un1

Ta dự đoán dãy số này bị chặn (dùng máy Casio để tính một vài số hạng). Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp: 2un1,n*

Với n = 1 ta có 2u1=11 (đúng)    

Giả sử mệnh đề trên đúng với n=k1: 2uk1

Ta cần chứng minh mệnh đề trên đúng với n = k + 1

Ta có:

2uk1112uk12212uk1122uk+11

Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được 2un1,n*

Vậy (un) bị chặn.

b) un=12+122+132+...+1n2

Xét 1k2<1k1k=1k11k,k2

Suy ra

un<12+112+1213+1314+1516+...+1n11n

=321n<32

0<un<32,n*

Vậy (un) bị chặn

Bài tập tự luyện

1. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho dãy số (un) biết un=1n+1. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

A. 12;13;14.

B. 1;12;13.

C. 12;14;16.

D. 1;13;15.

Câu 2. Cho dãy số (un) biết un=2n+1n+2. Viết năm số hạng đầu của dãy số.

A. u1=1,u2=34,u3=75,u4=32,u5=117

B. u1=1,u2=54,u3=75,u4=32,u5=117

C. u1=1,u2=54,u3=85,u4=32,u5=117

D. u1=1,u2=54,u3=75,u4=72,u5=113

Câu 3. Cho dãy số (un) xác định bởi u1=7un+1=2un+3 khi đó u5 bằng:

A. 317

B. 157

C. 77

D. 112

Câu 4. Cho dãy số (un) xác định bởi u1=2un=2un1+n2(n2). Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng

A. 0

B. 93 

C. 9

D. 34

Câu 5. Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=2,u2=3un+1=5un6un1;  n2.. Tìm số hạng u8.

A. u= - 1803

B. u8 = - 5793

C. u8 = - 18147

D. u= - 537

Câu 6. Cho dãy số (un) biết un=5n+2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. Cả A, B, C đều sai

Câu 7. Cho dãy số (un) biết un=103n. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng

B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm

D. un1=103n1

Câu 8. Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào giảm?

A. un=43n.

B. un = (- 1)n(5n - 1).

C. un = - 3n.

D. un=n+4.

Câu 9. Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào không tăng, không giảm?

A. un=n+1n.

B. u= 5n + 3n.         

C. un = - 3n.

D. un=3n.n2+1.

Câu 10. Cho dãy số (un) biết u1=3un+1=3un3+un. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số giảm.

C. Dãy số không tăng, không giảm.

D. Có u10 = 2.

Câu 11. Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn?

A. un=n+1n.

B. un = n + 1.

C. un=n2n2+1.

D. un = n2 + n + 1.

Câu 12. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: un=11+n+n2

A. Tăng, bị chặn trên.

B. Tăng, bị chặn dưới.

C. Giảm, bị chặn.

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 13. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: un=2nn!

A. Tăng, bị chặn trên.

B. Tăng, bị chặn dưới.

C. Giảm, bị chặn.

D. Cả A, B, C đều sai.

Câu 14. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un=11.3+12.4+...+1n.(n+2)

A. Bị chặn.

B. Không bị chặn.

C. Bị chặn trên.

D. Bị chặn dưới.

Câu 15. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết: un=1+122+132+...+1n2.

A. Dãy số tăng, bị chặn.

B. Dãy số tăng, bị chặn dưới.

C. Dãy số giảm, bị chặn trên.

D. Cả A, B, C đều sai.   

Đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

A

B

B

D

A

A

B

C

D

B

C

C

C

A

A

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

Xem thêm các dạng bài tập khác:

20 Bài tập Cách tính giới hạn của dãy số (2024)

30 Bài tập Tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa (2024)

Các công thức về Cấp số cộng, Cấp số nhân (2024)

300 Bài tập Toán 11 chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân (có đáp án năm 2024)

120 Bài tập về cấp số nhân (có đáp án năm 2024)

 

70 Bài tập về dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 1)
Trang 1
70 Bài tập về dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 2)
Trang 2
70 Bài tập về dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 3)
Trang 3
70 Bài tập về dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 4)
Trang 4
70 Bài tập về dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 5)
Trang 5
70 Bài tập về dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 6)
Trang 6
70 Bài tập về dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 7)
Trang 7
70 Bài tập về dãy số (có đáp án năm 2024) - Toán 11 (trang 8)
Trang 8
Để xem toàn bộ tài liệu, vui lòng tải xuống
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!