Các công thức về Cấp số cộng, Cấp số nhân (2024) đầy đủ nhất

CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN 

Lý thuyết tổng hợp

1. Cấp số cộng

a. Định nghĩa

Dãy số $u_n$ là một cấp số cộng nếu $u_{n+1}=u_n+d$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $d$ là hằng số.

$d=u_{n+1}-u_n$ được gọi là công sai.

* $d=0$: CSC là một dãy số không đổi.

Ví dụ:

Dãy số $3;6;9;12;15$ là một cấp số cộng vì:

$\begin{array}{l}6=3+3\\ 9=6+3\\ 12=9+3\\ 15=12+3\end{array}$

Đây là CSC có công sai $d=3$ và số hạng đầu $u_1=3$.

b. Số hạng tổng quát

Kí hiệu: $u_n=u_1+(n–1)d,(n\ge 2)$. ( n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 1)

Như vậy công sai còn có thể tính bởi công thức: $d={\displaystyle \frac{u_n-u_1}{n-1}}$.

Ví dụ:

Cho CSC $\left(u_n\right)$ biết $u_1=-1,d=3$. Tìm $u_{20}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{u}_{20}=u_1+\left(20-1\right)d\\ =u_1+19d\\ =-1+19.3\\ =56\end{array}$

c. Tính chất

$u_k={\displaystyle \frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}}$ với $k\ge 2$ hay $u_{k+1}+u_{k-1}=2u_k$

Ví dụ:

Cho ba số $3;x;9$ theo thứ đó lập thành một CSC. Tìm $x.$

Ta có: $x={\displaystyle \frac{3+9}{2}}=6$.

Vậy $x=6$.

d. Tổng n số hạng đầu

+) Thông qua số hạng đầu, cuối và số số hạng:  $S_n={\displaystyle \frac{n(u_1+u_n)}{2}}$, với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

+) Thông qua số hạng đầu, số số hạng và công sai:

$S_n=n{u}_1+{\displaystyle \frac{n\left(n-1\right)}{2}}d$

$S_n={\displaystyle \frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}}$

2. Cấp số nhân

a. Định nghĩa

$u_n$ là cấp số nhân $\iff u_{n+1}=u_n.q$, với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Công bội $q={\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}$.

Ví dụ:

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $u_1=5,q=3$. Tính $u_2$.

Ta có: $u_2=q{u}_1=3.5=15$.

b. Số hạng tổng quát

$u_n=u_1.q^{n-1},(n\ge 2)$

Ví dụ:

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ thỏa mãn $u_1=5,q=3$. Tính $u_5$.

Ta có:

$u_5=u_1{q}^4={5.3}^4=405$.

c. Tính chất

$u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1}$ hay $|u_k|=\sqrt{u_{k-1}.u_{k+1}},$ với $k\ge 2$ 

Ví dụ:

Cho bốn số $x;5;25;y$ theo thứ tự đó lập thành một CSN. Tìm $x,y$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{5}^2=x.25\iff x=1\\ {25}^2=5y\iff y=125\end{array}$

Vậy $x=1,y=125$.

d. Tổng n số hạng đầu 

$S_n={\displaystyle \frac{u_1(q^n-1)}{q-1}}$ $={\displaystyle \frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}}$, $(q\ne 1)$.

Bài tập vận dụng (có đáp án)

Câu 1: Cho hai số -3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2. Tìm n?

A. n = 12

B.n = 13

C. n = 14

D. n = 15

Câu 2: Nếu các số 5 + m; 7 + 2m; 17 + m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu?

A. m = 2

B.m = 3

C. m = 4

D. m = 5

Câu 3: Cho cấp số cộng (u_n) có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;..... Tìm số hạng tổng quát u_n của cấp số cộng.

A. u_n = 5n + 1

B. u_n = 5n - 1

C. u_n = 4n + 1

D. u_n = 4n - 1

Câu 4: Cho cấp số cộng (u_n) có d = -2 và S₈ = 72. Tìm số hạng đầu tiên u₁?

A. 16

B. – 16

C. 4

D. 8

Câu 5: Một cấp số cộng có 12 số hạng. Biết rằng tổng của 12 số hạng đó bằng 144 và số hạng thứ mười hai bằng 23. Khi đó công sai d của cấp số cộng đã cho là bao nhiêu?

A. d = 2

B. d = 3

C. d = 4

D. d = 5

Câu 8: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn u₂ + u₂₃ = 60. Tính tổng S₂₄ của 24 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho.

A. 60

B. 120

C. 720

D. 1440

Câu 9: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn .Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 10: Trong các dãy số (u_n) sau, dãy nào là cấp số nhân?

Câu 11: Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q < 0 và u₂ = 4, u₄ = 9. Tìm u₁ .

Câu 12: Cho cấp số nhân (u_n) biết u₁ + u₅ = 51; u₂ + u₆ = 102. Hỏi số 12288 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân (u_n) ?

A. Số hạng thứ 10.

B. Số hạng thứ 11.

C. Số hạng thứ 12.

D. Số hạng thứ 13.

Câu 13: Tìm x biết 1, x², 6 - x² lập thành cấp số nhân.

A. x = ± 1

B. x = ± 1

C. x = ± √2

D. x = ± √3

Câu 14: Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân , biết số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366.

A. 19674.

B. 59040.

C. 177138.

D. 6552

Câu 15: Các số x + 6y ; 5x + 2y; 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x- 1 ; y + 2 ; x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính x² + y²

A. 40

B. 25

C. 100

D. 10