30 Bài tập Tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa (2024) cực hay, có đáp án

Cách tìm giới hạn của dãy số bằng định nghĩa

1. Phương pháp giải

- Để chứng minh limu_n = 0 ta chứng minh với mọi số a > 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số n_a sao cho |u_n| n_a.

- Để chứng minh limu_n = 1 ta chứng minh lim(u_n-1) = 0.

- Để chứng minh limu_n = +∞ ta chứng minh với mọi số M > 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n_M sao cho u_n > M ∀n > n_M.

- Để chứng minh limu_n = -∞ ta chứng minh lim(-u_n) = +∞

- Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

Hướng dẫn:

1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn 

Ta có:

2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn 

Ta có:

Ví dụ 2: Chứng minh rằng dãy số (u_n ) : u_n = (-1)ⁿ không có giới hạn.

Hướng dẫn:

Ta có: u_2n = 1 ⇒ limu_2n = 1; u_(2n+1) = -1 ⇒ limu_(2n+1) = -1

Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (u_n) không có giới hạn.

Ví dụ 3: Chứng minh các giới hạn sau:

Hướng dẫn:

1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có:

Ta chọn 

Do đó: 

2. Với mọi M > 0 lớn tùy ý, ta có:

Ta chọn 

Do đó: 

Ví dụ 4: Chứng minh rằng:

Hướng dẫn:

1. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn 

Ta có:

2. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn 

Ta có:

3. Với a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn 

Ta có:

Ví dụ 5: Chứng minh các giới hạn sau

Hướng dẫn:

1. Với mọi a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn 

2. Ta có

3. Với mọi số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn 

Ta có:

Ví dụ 6: Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau :

Hướng dẫn:

1. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn 

Ta có: 

Vậy A = 2

2. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n_a thỏa mãn 

3. Với số thực a > 0 nhỏ tùy ý, ta chọn 

Ta có:

Vậy C = 1

Ví dụ 7: Chứng minh rằng dãy số (u_n): u_n = (-1)ⁿ không có giới hạn.

Hướng dẫn:

Ta có: u_2n → +∞; u_(2n+1) = -(2n+1) → -∞

Do đó dãy số đã cho không có giới hạn.

Ví dụ 8: Chứng minh các giới hạn sau:

Hướng dẫn:

1. Gọi m là số tự nhiên thỏa: m+1 > |a|. Khi đó với mọi n > m+1

Ta có:

Mà  Từ đó suy ra: 

2. Nếu a = 1 thì ta có đpcm

+ Giả sử a > 1. Khi đó:

+ 

Tóm lại ta luôn có:  với a > 0.

3. Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1: Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ?

Lời giải:

Đáp án: C

Cách 1.

 = lim⁡1 + lim(1/n) = 1 + 0 = 1

Đáp án C

Cách 2 (phương pháp loại trừ). Từ các định lí ta thấy:

Các dãy ở phương án A,B đều bằng 0, do đó loại phương án A,B

Do đó loại phương án D

Chọn đáp án C

Bài 2: Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ?

Lời giải:

Đáp án: D

Cách 1. Dãy (1/3)ⁿ có giới hạn 0 vì |q| < 1 thì limqⁿ = 0. Đáp án là D

Cách 2. Các dãy ở các phương án A,B,C đều có dạng limqn nhưng |q| > 1 nên không có giưới hạn 0, do đó loại phương án A,B,C. Chọn đáp án D

Bài 3:  có giá trị bằng:

Lời giải:

Đáp án: D

Cách 1. Chia tử và mẫu xủa phân tử cho n (n là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), ta được

Đáp án là D

Cách 2. Sử dụng nhận xét:

khi tính limu_n ta thường chia tử và mẫu của phân thức cho n^k (n^k là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức), từ đó được kết quả:

Nếu m < p thì limu_n = 0. Nếu m = p thì 

Nếu m > p thì limu_n = +∞ nếu a_m.b_p > 0; limu_n = -∞ nếu a_m.b_p < 0

Vì tử và mẫu của phân thức đã cho đều có bậc 1 nên kết quả

Do đó chọn đáp án là D

Bài 4:  bằng:

Lời giải:

Đáp án: A

Cách 1. Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức nên kết quả

Đáp án là A

Cách 2. Chia tử và mẫu của phân thức cho n⁴(n⁴ là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức) rồi tính. Đáp án A

Bài 5:  bằng:

Lời giải:

Đáp án: B

Cách 1. Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức lớn hơn bậc của mẫu thức, hệ số luỹ thừa bậc cao nhất của n cả tử và mẫu là số dương nên kết quả

Đáp án là B

Cách 2. Chia tử và mẫu của phân thức cho n⁴(n⁴ là luỹ thừa bậc cao nhất của n trong tử và mẫu của phân thức) rồi tính. Đáp án B

Bài 6: Dãy số nào sau đây có giưới hạn bằng 1/5 ?

Lời giải:

Đáp án: A

Cách 1. Tính được 

Suy ra đáp án là A

Cách 2. . Sử dụng nhận xét trên, vì bậc của tử thức lớn hơn bậc của mẫu thức, hệ số luỹ thừa bậc cao nhất của n cả tử và mẫu thức bằng nhau và tỉ số hệ số của cúng bằng 1/5. Chỉ có dãy ở phương án A thoả mãn. Vậy đáp án là A.

Bài 7:  có giá trị bằng:

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có:

Đáp án B

Bài 8:  có giá trị bằng:

Lời giải:

Đáp án: A

chia cả tử thức và mẫu thức cho √n

Đáp án A

Bài 9:  bằng:

Lời giải:

Đáp án: B

Trước hết tính

Do đó 

Đáp án là B

Bài 10:  bằng:

Lời giải:

Đáp án: D

Chia cả tử thức mẫu thức cho n, ta có:

Đáp án D

Bài 11: lim⁡(-3n³ + 2n² - 5) bằng:

A. -3         B.0         C. -∞          D. +∞

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Vì 

nên lim⁡(-3n³ + 2n² - 5) = -∞

Đáp án C

Bài 12: Lim( 2n⁴ + 5n² - 7n ) bằng:

A. -∞         B.0         C. 2          D. +∞

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Đáp án D

Bài 13: Dãy số nào sau đây có giưới hạn là +∞ ?

A. u_n = 9n² - 2n⁵

B. u_n = n⁴ - 4n⁵

C. u_n = 4n² - 3n

D. u_n = n³ - 5n⁴

Lời giải:

Đáp án: C

Chỉ có dãy u_n = 4n² - 3n có giới hạn là +∞, các dãy còn lại đều có giới hạn là -∞.

Đáp án C

Bài 14: Nếu limu_n = L, u_n + 9 > 0 ∀n thì  bằng số nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án: C

vì limu_n = L nên lim⁡(u_n + 9) = L + 9 do đó

Đáp án là C

Bài 15:  bằng:

A. 0         B.1         C. 2          D. +∞

Lời giải:

Đáp án: B

Cách 1. Chia tử thức và mẫu thức cho n:

Đáp án là B

Cách 2. Thực chất có thể coi bậc cao nhất của tử thức và mẫu thức là 1, do đó chỉ cần để ý hệ số bậc 1 của tử thức là √4, của mẫu thức là 2, từ đó tính được kết quả bằng 1. Đáp án B

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

Bài toán tính tổng của dãy số (2024) chi tiết nhất

70 Bài tập về giới hạn của hàm số (có đáp án năm 2024)

20 Bài tập Cách tính giới hạn của hàm số có chứa trị tuyệt đối (2024) cực hay, có đáp án chi tiết

20 Bài tập Cách tính giới hạn của dãy số có chứa căn thức (2024) cực hay, có đáp án chi tiết

500 Bài tập Toán 11 chương 4: Giới hạn (có đáp án năm 2023)