60 Bài tập về số phức (có đáp án năm 2024) - Toán 12

Số phức

Kiến thức cần nhớ

1. Số i

Số i là số thỏa mãn: i² = –1.

2. Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó $a;b\in R$; i² = –1 được gọi là một số phức.

Đối với số phức z = a + bi, ta nói: a là phần thực, b là phần ảo của z.

Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

Ví dụ 1. Các số sau là những số phức: 2 – 3i; –8 + 4i; $5-i\sqrt{2};$$\sqrt{3}+\text{}2i$

Ví dụ 2. Số phức 6 – i có phần thực là 6, phần ảo là – 1.

3. Số phức bằng nhau

– Định nghĩa : Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau :

a + bi = c + di  a = c và b = d.

Ví dụ 3. Tìm các số thực x và y biết :

(2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i

Lời giải:

Ta có : (2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{c}2x-1=3\\ y-2=4-y\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}x=2\\ y=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy x = 2 và y = 3.

– Chú ý :

a) Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a = a + 0i.

Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có : $R\subset C$.

 b) Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi : bi = 0 + bi

Đặc biệt : i = 0 + 1.i

Số i được gọi là đơn vị ảo.

Ví dụ 4. Số phức z có phần thực là $-\frac{1}{2}$ và phần ảo là $\frac{1}{2}$ là $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$.

4. Biểu diễn hình học số phức

Điểm M(a ; b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.

Ví dụ 5.

Điểm A biểu diễn số phức 2 – 2i

Điểm B biểu diễn số phức 4.

Điểm C biểu diễn số phức – 2.

Điểm D biểu diễn số phức 2 + 3i.

Điểm E biểu diễn số phức 2.

Điểm F biểu diễn số phức – 3 + 2i.

Điểm G biểu diễn số phức –2 – 3i.

5. Mô đun của số phức

Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) trên mặt phẳng tọa độ.

Độ dài của vecto $\overrightarrow{OM}$ được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|.

Vậy $\left|z\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|$hay $\left|a+bi\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|$.

Ta thấy: $\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Ví dụ 6.

6. Số phức liên hợp

– Định nghĩa : Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là $\overline{z}=a-bi$.

Ví dụ 7.

Nếu z = – 3 + 5i thì $\overline{z}=-3-5i$.

Nếu z = – 4 + 4i thì $\overline{z}=-4-4i$.

– Nhận xét :

+ Trên  mặt phẳng tọa độ các điểm biểu diễn z và $\overline{z}$ đối xứng nhau qua trục Ox.

+ Từ định nghĩa ta có: $\overline{\overline{z}}=z;\left|\overline{z}\right|=\left|z\right|$.

Các dạng bài tập về số phức

(Xem thêm trong file pdf)

Dạng 1: Thực hiện các phép toán của số phức, tìm phần thực phần ảo.

Dạng 2. Tìm số phức liên hợp, tính môđun số phức.

Dạng 3. Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức.

Dạng 4. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Dạng 5: Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức.

Bài tập (có hướng dẫn)

1. Bài tập vận dụng

Bài 1: Hai số phức z₁ = x - 2i, z_²2 + yi (x, y ∈ R) là liên hợp của nhau khi

Lời giải:

Ta có z₁− = x + 2i. Do đó, hai số phức đã cho gọi là liên hợp của nhau khi và chỉ khi

Vậy x= 2, y = 2. 

Bài 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thòa mãn |z| = |1 + i| là

Lời giải:

Ta có |1 + i| = $\sqrt{\left(1+1\right)}$ = $\sqrt{2}$. Gọi M là điểm biểu diễn của z ta có |z| = OM.

Do đó: |z| = |1 + i| ⇔ OM = $\sqrt{2}$

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O, bán kính R= $\sqrt{2}$ .

Bài 3: Phần thực của số phức z = -i là

Lời giải:

Bài 4: Phần ảo của số phức z = -1 là

Lời giải:

Bài 5: Số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là

Lời giải:

Bài 6: Cho z = 2i -1. Phần thực và phần ảo của z− là

Lời giải:

2. Bài tập tự luyện có hướng dẫn

(Xem thêm trong file pdf)

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

60 Bài tập về phép chia số phức (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về phương trình bậc hai với hệ số thực ( có đáp án năm 2023 )

60 Bài tập về ứng dụng hình học của tích phân (có đáp án năm 2023)

60 Bài tập về Tích phân (có đáp án năm 2024)

60 Bài tập về Nguyên hàm ( có đáp án năm 2023 )