Phương trình bậc hai với hệ số thực
Kiến thức cần nhớ
1. Căn bậc hai của số thực âm
Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ i2 = –1, ta nói i là một căn bậc hai của – 1; – i cũng là một căn bậc hai của –1 vì (–i)2 = –1.
Từ đó, ta xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn.
Căn bậc hai của –16 là vì
Căn bậc hai của –5 là vì
Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là .
2. Phương trình bậc hai với hệ số thực
Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với a; b ; c.
Xét biệt số ∆ = b2 – 4ac của phương trình. Ta thấy:
Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm thực .
Khi ∆ > 0, có hai căn bậc hai thực của ∆ là và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức .
Khi ∆ < 0, ta có hai căn bậc hai thuần ảo của ∆ là . Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức .
– Nhận xét:
Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).
Tổng quát: Mọi phương trình bậc n :
a0.xn + a1.xn – 1 + ….+ an–1.x + an = 0
Trong đó; a0 ; a1;…..; anđều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt).
Các dạng bài tập về phương trình bậc hai với hệ số thực
Dạng 1: Giải phương trình. Tính toán biểu thức nghiệm.
Dạng 2: Định lí Vi-ét và ứng dụng.
Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai.
Bài tập tự luyện
1 Bài tập vận dụng
Bài 1: Phương trình z1 = 1 + 2i, z2 = 2 - 3i có nghiệm là z = 2 + i khi
A. a = 1, b = 4
B. a = -1, b = 4
C. a = -1, b = -4
D. a = 1, b = -4
Lời giải:
Thay z = 2 + i vào phương trình đã cho ta có:
Bài 2: Phương trình (1 + i)2 = -7 + i có các nghiệm là?
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với
Viết -3 + 4i = 4i2 + 4i + 1 = (2i + 1)2, ta có: z2 = (2i + 1)2 <=> z = ±(2i + 1)
Chú ý: Nếu việc viết -3 + 4i = (2i + 1)2 gặp khó khăn thì có thể đặt z = a + bi (a, b ∈ R). Ta có :
(a + bi)2 = -3 + 4i <=> a2 - b2 + 2abi = -3 + 4i
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có b =
Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có
Vì a ∈ R và a2 ≥ 0 nên a2 = 1 hay a = ±1. Từ đó ta có hai nghiệm : z1 = -1 - 2i và z2 = 1 + 2i
Câu 3: Phương trình z2 -az + b = 0 (a, b ∈ R) có nghiệm z = 1 + i khi
Lời giải:
Thay z = 1 + i vào phương trình đã cho ta có:
Câu 4: Phương trình 2z2 + 4z + 5 = 0 có các nghiệm là?
Lời giải:
Ta có: Δ' = 4 - 10 = -6 = 6i2
Phương trình đã cho có các nghiệm là
Chọn đáp án C.
Câu 5: Phương trình z2 - z + 1 = 0 có hai nghiệm là?
Lời giải:
Ta có: Δ = 12 - 4 = -3 = 3i2
Các nghiệm của phương trình đã cho là
Câu 6: Để phương trình z2 + bz + c = 0 nhận z1 = -4 + 2i và z2 = -4 - 2i làm nghiệm thì?
Lời giải:
Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
Để phương trình đã cho nhận z1, z2 làm nghiệm thì
Câu 7: Phương trình z2 + 6z + 15 = 0 có các nghiệm là z1, z2.Giá trị biểu thức T = |z1| + |z2| bằng?
Lời giải:
Ta có:Δ' = 9 - 15 = -6 = 6i2
Các nghiệm của phương trình là z1 = - 3 - i, z2 = - 3 + i
Do đó
Câu 8: Phương trình z1 = 1 + 2i, z2 = 2 - 3i có nghiệm là z = 2 + i khi
Lời giải:
Thay z = 2 + i vào phương trình đã cho ta có:
Câu 9: Phương trình (1 + i)2 = -7 + i có các nghiệm là
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với
Viết -3 + 4i = 4i2 + 4i + 1 = (2i + 1)2, ta có: z2 = (2i + 1)2 <=> z = ±(2i + 1)
Chú ý: Nếu việc viết -3 + 4i = (2i + 1)2 gặp khó khăn thì có thể đặt z = a + bi (a, b ∈ R). Ta có :
(a + bi)2 = -3 + 4i <=> a2 - b2 + 2abi = -3 + 4i
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có b =
Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có
Vì a ∈ R và a2 ≥ 0 nên a2 = 1 hay a = ±1 . Từ đó ta có hai nghiệm : z1 = -1 - 2i và z2 = 1 + 2i
Câu 10: Phương trình z2 + 4x + 5 = 0 có các nghiệm là
Lời giải:
Ta có: Δ' = 22 - 1.5 = -1 = i2. Phương trình có hai nghiệm là:
2 Bài tập tự luyện có hướng dẫn
Xem thêm các dạng bài tập toán hay khác:
50 Bài tập Giải bài toán bằng cách lập phương trình (có đáp án năm 2023)
50 Bài tập Hệ thức Vi – ét và ứng dụng (có đáp án năm 2023)
50 Bài tập Phương trình bậc hai một ẩn (có đáp án năm 2023)
50 Bài tập Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (có đáp án năm 2023)
50 Bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số (có đáp án năm 2023)
