Bài tập về phương trình bậc 3 nâng cao

I. Phương pháp giải

1. Một số dạng phương trình chưa căn bậc 3 nâng cao thường gặp

Dưới đây là một số dạng phương trình chứa căn bậc 3 nâng cao thường gặp trong chương trình Toán 9:

(1)$\sqrt[3]{M} = N$

(2)$\sqrt[3]{M} = \sqrt[3]{N}$

(3)   $\sqrt[3]{M} + \sqrt[3]{N} = P$(hay $\sqrt[3]{M} - \sqrt[3]{N} = P$)

(4)   $\sqrt[3]{M} + \sqrt[3]{N} = \sqrt[3]{P}$ (hay $\sqrt[3]{M} - \sqrt[3]{N} = \sqrt[3]{P}$)

2. Cách giải phương trình bậc 3 nâng cao

2.1. Dạng 1: Bài toán giải phương trình có dạng $\sqrt[3]{M}=N$ (1)

- Bước 1. Lập phương đồng thời cả hai vế của phương trình (1) ta được phương trình M=$N^3$

- Bước 2. Ta giải phương trình M=$N^3$

- Bước 3.Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu

2.2. Dạng 2: Bài toán giải phương trình có dạng $\sqrt[3]{M} = \sqrt[3]{N}$ (2)

- Bước 1. Lập phương đồng thời cả 2 vế phương trình (2), ta được phương trình M=N

- Bước 2. Ta giải phương trình M=N

- Bước 3. Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu

2.3. Dạng 3: Bài toán phương trình có dạng $\sqrt[3]{M} + \sqrt[3]{N} = P$ (3)

- Bước 1. Lập phương đồng thời cả 2 vế của phương trình (3) ta được phương trình ${( \sqrt[3]{M} + \sqrt[3]{N})}^3=P^3$

- Bước 2. Biến đổi phương trình ở bước 1

Áp dụng hằng đẳng thức ${(A+B)}^3$= $A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$, ta được $M+3{\left(\sqrt[3]{M}\right)}^2.\sqrt[3]{N}+3\sqrt[3]{M}.{\left(\sqrt[3]{N}\right)}^2+N=P$ hay $M+N+3\sqrt[3]{M}.\sqrt[3]{N} (\sqrt[3]{M}+\sqrt[3]{N})=P^3$ (*)

thay $\sqrt[3]{M}+\sqrt[3]{N}=P$ vào (*) , ta được $M+N+3\sqrt[3]{MN}.P=P^3$

- Bước 3. Ta giải phương trình ở bước 2

- Bước 4. Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu

Chú ý: Tương tự như trên, giải phương trình có dạng $\sqrt[3]{M}-\sqrt[3]{N}=P$ bằng cách áp dụng hằng đẳng thức ${(A-B)}^3=A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3$

2.4. Dạng 4. Bài toán giải phương trình có dạng $\sqrt[3]{M}+\sqrt[3]{N}=\sqrt[3]{P}$ (4)

- Bước 1. Lập phương đồng thời cả 2 vế phương trình (4), ta được phương trình ${(\sqrt[3]{M}+\sqrt[3]{N})}^3=P$

- Bước 2. Biến đổi phương trình ở bước 1

Áp dụng hằng đẳng thức ${(A+B)}^3$ = $A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$, ta đượC$M+3{\left(\sqrt[3]{M}\right)}^2.\sqrt[3]{N}+3\sqrt[3]{M}. {\left(\sqrt[3]{N}\right)}^2+N=P$

hay $M+N+3\sqrt[3]{M}.\sqrt[3]{N}(\sqrt[3]{M}+\sqrt[3]{N})=P$ (**)

thay (4) vào (**), ta được

$M+N+3\sqrt[3]{MN}\sqrt[3]{P}=P$ hay $M+N+3\sqrt[3]{MNP}=P$

- Bước 3. Ta giải phương trình $M+N+3\sqrt[3]{MNP}=P$

- Bước 4. Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Em hãy giải phương trình sau: $\sqrt[3]{3x+5}=2$(1)

Lập phương đồng thời cả 2 vế của phương trình (1), ta được:

$$\begin{gathered} 3x+5=8 \\ \iff 3x=3 \\ \iff x=1 \end{gathered}$$

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 1

Ví dụ 2. Em hãy giải phương trình sau $\sqrt[3]{5x+7}=\sqrt[3]{3x+11}$ (2)

Lập phương đồng thời cả 2 về của phương trinh (2), ta được

$$\begin{gathered} 5x+7=3x+11 \\ \iff 2x=4 \\ \iff x=2 \end{gathered}$$

Vậy nghiệm của phương trình (2) là x = 2

Ví dụ 3. Em hãy giải phương trình sau $\sqrt[3]{x+3}+\sqrt[3]{5-x}=2$ (3)

Lập phương đồng thời cả 2 vế của phương trình (3) ta được

$$\begin{gathered} x+3+5-x+3\sqrt[3]{(x+3)(5-x)} (\sqrt[3]{x+3}+\sqrt[3]{5-x})=8 \\ \iff 6\sqrt[3]{(x+3)(5-x)}=0 (thay \sqrt[3]{x+3}+\sqrt[3]{5-x}=2) \\ \iff x+3=0 hoặc 5-x=0 \\ \iff x=-3 hoặc x=5 \end{gathered}$$

Vậy nghiệm của phương trình (3) là x = -3; x = 5

Ví dụ 4. Em hãy giải phương trình sau $\sqrt[3]{4x+4}+\sqrt[3]{x+6}=\sqrt[3]{5x+10}$ (4)

Lập phương cả 2 vế của phương trình (4), ta được

$$\begin{gathered} 4x+4+x+6+3\sqrt[3]{(4x+4)(x+6)} (\sqrt[3]{4x+4}+\sqrt[2]{x+6})=5x+10 \\ \iff 3\sqrt[3]{(4x+4}+(x+6)(5x+10)=0 (thay \sqrt[3]{4x+4}+\sqrt[3]{x+6}=\sqrt[3]{5x+10}) \\ \iff 4x+4=0 hoặc x+6=0 hoặc 5x+10=0 \\ \iff x=-1 hoặc x=-6 hoặc x=-2 \end{gathered}$$

Vậy nghiệm của phương trình (4) là x = -1; x = -6 và x = -2

III. Bài tập giải phương trình căn bậc 3 nâng cao

Câu 1. Em hãy giải phương trình sau: $\sqrt[3]{5x+2}=3$ (1)

Bài giải

$$\begin{gathered} 5x+2=27 \\ \iff 5x=25 \\ \iff x=5 \end{gathered}$$

Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 5

Câu 2. Tính giá trị của biểu thức sau:

$$\begin{gathered} a) {(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2})}^3 \\ b) (\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}) \\ c) \sqrt[3]{162}.\sqrt[3]{-2}.\sqrt[3]{\frac{2}{3}} \\ d) \sqrt[3]{2}:\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{22\frac{1}{2}}:\sqrt[3]{53\frac{1}{3}} \end{gathered}$$

Bài giải:

$$\begin{gathered} a) {(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2})}^3=5+\sqrt[3]{6}(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}\left) \\ b\right) (\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9})={\left(\sqrt[3]{5}\right)}^3-{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3=2 \\ c) \sqrt[3]{162}.\sqrt[3]{-2}.\sqrt[3]{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{162. (-2).\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-216}=-6 \\ d) \sqrt[3]{2}:\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{22\frac{1}{2}}:\sqrt[3]{53\frac{1}{3}}= \sqrt[3]{\frac{1}{8}}-\sqrt[3]{\frac{27}{64}}=\frac{1}{2}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Câu 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Câu 4: Chọn khẳng định đúng

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 5: Chọn khẳng định đúng.

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 6: Thu gọn  ta được

A. 25a        

B. 5a          

C. −25a³     

D. −5a

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7: Rút gọn biểu thức  ta được

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8: Rút gọn biểu thức  ta được

A. 14a        

B. 20a        

C. 9a          

D. −8a

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: B

Câu 9: Rút gọn biểu thức  ta được

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 10: Rút gọn biểu thức  ta được

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: A

Câu 11: Tìm x biết 

A. x = −14  

B. x < −14  

C. x > −14  

D. x > −12

Lời giải:

Đáp án cần chọn là: C

Xem thêm các dạng câu hỏi và bài tập liên quan khác:

50 Bài tập Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số (có đáp án năm 2024)

50 Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc hai (có đáp án năm 2024) 

50 Bài tập Công thức nghiệm của phương trình bậc hai (có đáp án năm 2024)

30 Bài tập về miền nghiệm của bất phương trình (2024) có đáp án 

30 Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (2024) có đáp án