50 bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức (có đáp án 2024) – Toán 8

Với cách giải Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức môn Toán lớp 8 Đại số gồm phương pháp giải chi tiết, bài tập minh họa có lời giải và bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức. Mời các bạn đón xem:

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức và cách giải bài tập 

1. Lý thuyết

Cho biểu thức f(x, y,..)

- M là giá trị lớn nhất của biểu thức f(x, y,..) nếu M thỏa mãn hai điều kiện sau

+ Với mọi x, y,... thỏa mãn điều kiện xác định thì f(x,y,…) M

+ Tồn tại x0;y0...sao cho fx0;y0,..=M

- m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x, y,..) nếu m thỏa mãn hai điều kiện sau

+ Với mọi x, y,... thỏa mãn điều kiện xác định thì f(x,y,…) m

+ Tồn tại x0;y0...sao cho fx0;y0,..=m

Chú ý:

Với hai số a, b cùng dấu a > b 1a<1b

a2+mm với mọi m

a2+b22ab với mọi a, b.

2. Phương pháp giải và ví dụ

Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức

Phương pháp giải: Cho phân thức AxBx với Bx0

Bước 1: Đánh giá tử thức và mẫu thức để tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất ở cả tử và mẫu.

Bước 2: Đánh giá phân thức sao cho AxBxM

Bước 3: Dùng giá trị M vừa tìm được để giải ra x thỏa mãn.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

a) A=3x2+6x+13

b) B=3x22x+3x2+1

Lời giải:

a) Điều kiện xác định:

x2+6x+13=x2+6x+9+4=x+32+4

Vì x+320 nên x+32+44

A xác định với mọi x

 A=3x2+6x+13

A=3x2+6x+9+4

A=3x+32+4

Ta có:

x+320

x+32+40+4=4

3x+32+434

A34

Dấu “=” xảy ra x+3=0x=3

Vậy Amax = 34khi x = -3

b) Điều kiện xác định:

Vì x20 nên x2+11

B xác định với mọi x

B=3x22x+3x2+1

B=4x2+4x22x1x2+1

B=4x2+1x2+2x+1x2+1

B=4x2+1x2+1x2+2x+1x2+1

B=4x+12x2+1

Ta có:

x20x2+11>0và x+120

x+12x2+10

B=4x+12x2+140=4

Dấu “=” xảy ra khi x+1=0x=1

Vậy Bmax = 4 khi x = -1

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của C=xx2+20x+100với x10

Lời giải:

C=xx2+20x+100

C=xx+102

Đặt y=1x+10x=1y10 thay vào C ta được

C=1y101y10+102

C=110yy1y2

C=110yy:1y2

C=110yy.y2

C=110yy=10y2+y

C=10y2110y

C=10y22.y.120+12021202

C=10y12021400

C=10y1202+140

Ta có:

y12020 với mọi y thỏa mãn điều kiện

10y12020

10y1202+1400+140=140

C140

Dấu “=” xảy ra khi y120= 0

y=120x=1y10=112010=10 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy Cmax = 140khi x = 10

Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

Phương pháp giải: Cho phân thức AxBx  vớiBx0

Bước 1: Đánh giá tử thức và mẫu thức để tìm ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất ở cả tử và mẫu.

Bước 2: Đánh giá phân thức sao cho AxBxm

Bước 3: Dùng giá trị m vừa tìm được để giải ra x thỏa mãn

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau: A=4x2+4x+44x+12

Lời giải:

Điều kiện: x1

A=4x2+4x+44x+12

A=3x2+6x+3+x22x+14x+12

A=3x2+2x+1+x22x+14x+12

A=3x+12+x124x+12

A=3x+124x+12+x124x+12

A=34+x12x+12

A=34+x12x+22

Ta có: x12x+220

A=34+x12x+2234

A34

Dấu “=” xảy ra x12x+22=0

x12x+2 x1=0 x=1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy Amin = 34khi x = 1

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

B=x2+y2x2+2xy+y2 với xy;x0;y0.

Lời giải:

B=x2+y2x2+2xy+y2

B=2x2+y22x2+2xy+y2

B=2x2+2y22x+y2

B=x2+2xy+y2+x22xy+y22x+y2

B=x+y2+xy22x+y2

B=x+y22x+y2+xy22x+y2

B=12+xy2x+y2

B=12+xy2x+2y2

Ta có:

xy2x+2y20

B=12+xy2x+2y212

Dấu “=” xảy ra xy2x+2y2=0

xy2x+2y=0

xy=0 x=y

Vậy Bmin = 12 khi x = y và x; y thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức

C=6x2+2x+9.

Lời giải:

Điều kiện:

x2+2x+9=x2+2x+1+8=x+12+8

Vì x+120 nên x+12+88

C xác định với mọi x

C=6x2+2x+9

C=6x2+2x+1+8

C=6x+12+8

Ta có:

x+120

x+12+88

1x+12+818

6x+12+868

6x+12+834

Dấu “=” xảy ra x+12=0

x+1=0 x=1

Vậy Cmin = -34khi x = -1.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức sau: A=52x2+3x+10.

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức: B=3x2+5x+10.

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức sau: A=3x28x+6x22x+1 với x1.

 

Bài 4: Tìm gá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân thức: M=34xx2+1.

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N=5x24x+4x2với x0.

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức E=3x2+4xx2+1.

 Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất P=2017x26x+20.

Bài 8: Cho biểu thức Q=x2x8x2+64x16+19 với x0;x8

Tìm giá trị nhỏ nhất của Q.

Bài 9: Cho biểu thức B=x+22x1x2x+2x2+6x+4x

a) Tìm điều kiện xác định của B.

b) Rút gọn B.

c) Tìm x để B đạt giá trị lớn nhất.

Bài 10: Cho biểu thức D=x+22x.1x2x+2x2+10x+4x  với x2;x0

Tìm giá tri lớn nhất của Q.

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

50 bài tập về công thức quy đồng mẫu thức (có đáp án 2024)

50 bài tập về tính chất cơ bản của phân thức (có đáp án 2024)

50 bài tập về hai phân thức bằng nhau (có đáp án 2024)

50 bài tập về tính giá trị của phân thức (có đáp án 2024)

50 bài tập về quy đồng mẫu thức nhiều phân thức (có đáp án 2024)

Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!