50 bài tập về hai phân thức bằng nhau (có đáp án 2023) - Toán 8

Hai phân thức bằng nhau đầy đủ, chi tiết - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

+ Hai phân thức $\frac{A}{B}$  và $\frac{C}{D}$  (B, D$\ne$ 0) được gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C. Ta viết:

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$(B, D$\ne$ 0) nếu A.D = B.C

Chú ý:

- Các tính chất của tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau của phân số cũng đúng cho phân thức.

- Các giá trị của biến làm cho mẫu bằng 0 gọi là giá trị làm phân thức vô nghĩa hoặc không xác định.

- Nếu ta nhân cả tử và mẫu của phân thức $\frac{A}{B}$ (với B$\ne$ 0) cho một đa thức M (M$\ne$ 0) thì ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

   $\frac{A}{B}=\frac{A.M}{B.M}$$\left(B,M\ne 0\right)$

- Nếu ta chia cả tử và mẫu của phân thức$\frac{A}{B}$ (với B$\ne$ 0) cho một đa thức M (M$\ne$ 0) là nhân tử chung của cả A và B thì ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

   $\frac{A}{B}=\frac{A:M}{B:M}$$\left(B,M\ne 0\right)$

II. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Các phân thức trong các trường hợp sau có bằng nhau hay không?

a) $A=\frac{2}{x-5}$ và $B=\frac{2x}{x^2-5x}$ với $x\ne 0;x\ne 5$ .

b) $C=\frac{x-2}{3}$ và $D=\frac{2x^2-3x-2}{3\left(2x+1\right)}$  với $x\ne \frac{-1}{2}$ .

Lời giải:

a) Xét

$2\left(x^2-5x\right)$$=2x^2-10x$

$2x\left(x-5\right)$ $=2x^2-10x$

Vì $2\left(x^2-5x\right)=$$2x\left(x-5\right)$ nên $\frac{2}{x-5}=\frac{2x}{x^2-5x}$ hay A = B với $x\ne 0;x\ne 5$.

b) Xét :

$\left(x-2\right).3\left(2x+1\right)=\left(3x-6\right)\left(2x+1\right)=6x^2-12x+3x-6=6x^2-9x-6$

$3.\left(2x^2-3x-2\right)=6x^2-9x-6$

Vì $3.\left(2x^2-3x-2\right)=$ $\left(x-2\right).3\left(2x+1\right)$  nên $\frac{x-2}{3}=\frac{2x^2-3x-2}{3\left(2x+1\right)}$  hay C = D với $x\ne \frac{-1}{2}$.

Ví dụ 2: Tìm đa thức A trong các trường hợp sau:

a)$\frac{6x^2+9x}{4x^2-9}=\frac{3x}{A}$ với $x\ne \pm \frac{3}{2}$ .

b)$\frac{5\left(x+y\right)}{3}=\frac{5x^2-5y^2}{A}$ với $x\ne y$ .

Lời giải:

a) Ta có:

$\frac{6x^2+9x}{4x^2-9}=\frac{3x\left(2x+3\right)}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}=\frac{3x}{2x-3}$

Vì $\frac{6x^2+9x}{4x^2-9}=\frac{3x}{2x-3}=\frac{3x}{A}$

$\Rightarrow A=2x-3$ với $x\ne \pm \frac{3}{2}$ .

b) Ta có:

$\frac{5x^2-5y^2}{A}=\frac{5\left(x^2-y^2\right)}{A}=\frac{5\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{A}$

$\frac{5\left(x+y\right)}{3}=\frac{5\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{3\left(x-y\right)}$

Vì $\frac{5\left(x+y\right)}{3}=\frac{5x^2-5y^2}{A}$

Nên $\frac{5\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{3\left(x-y\right)}=\frac{5\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{A}$

$\Rightarrow A=3\left(x-y\right)$ với $x\ne y$ .