50 bài tập về tính giá trị của phân thức (có đáp án 2023) – Toán 8

Tính giá trị của phân thức và cách giải bài tập - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

- Giá trị của phân thức là giá trị mà phân thức đó đạt được tại một giá trị biến cho trước.

- Giá trị của phân thức chỉ được xác định với điều kiện mẫu của phân thức đó khác 0.

 Chú ý: Với biểu thức hữu tỉ có hai biến x, y thì giá trị biểu thức hữu tỉ chỉ xác định bởi các cặp số x, y làm cho mẫu khác 0.

II. Dạng bài tập

Dạng 1: Tính giá trị của phân thức tại giá trị cho trước của một biến

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện của biến để giá trị phân thức xác định (nếu đề bài chưa cho điều kiện).

Bước 2: Ta kiểm tra xem giá trị của biến đó có thỏa mãn điều kiện hay không

Bước 3:

+ Nếu biến đó không thỏa mãn điều kiện, ta kết luận không xác định giá trị của phân thức với giá trị của biến đó.

- Nếu biến đó thỏa mãn điều kiện, ta thay biến đó vào phân thức rồi thực hiện phép tính.

Bước 4: Kết luận.

Ví dụ: Tính giá trị phân thức sau

a) $A=\frac{3x^2+x-2}{x-3}$tại x = 2

b) $B=\frac{2x+1}{4x^2+2x}$tại $x=\frac{1}{2}$.

Lời giải:

a) Điều kiện: $x\ne 3$

Thay x = 2 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta có:

$A=\frac{{3.2}^2+2-2}{2-3}=\frac{12+2-2}{-1}=-12$

Vậy với x = 2 thì A = -12.

b) Điều kiện: $4x^2+2x\ne 0$

$\iff 2x\left(2x+1\right)\ne 0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne \frac{-1}{2}\end{array}\right.$

Thay $x=\frac{1}{2}$ (thỏa mãn điều kiện) vào B ta được

$B=\frac{2.\frac{1}{2}+1}{4.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+2.\frac{1}{2}}$$=\frac{1+1}{1+1}=\frac{2}{2}=1$

Vậy B = 1 khi $x=\frac{1}{2}$.

Dạng 2: Tính giá trị của phân thức tại giá trị của biến thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức (nếu đề bài chưa cho điều kiện).

Bước 2: Giải điều kiện của biến để tìm ra giá trị của biến.

Bước 3: Kiểm tra biến vừa giải được với điều kiện

+ Nếu biến đó không thỏa mãn điều kiện, ta kết luận không xác định giá trị của phân thức với giá trị của biến đó.

- Nếu biến đó thỏa mãn điều kiện, ta thay biến đó vào phân thức rồi thực hiện phép tính.

Bước 4: Kết luận

Ví dụ 1: Tính giá trị của các phân thức sau

a) $A=\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x+1}$ với $x\ne -1$ tại $3x-1=0$

b) $B=\frac{x^2-1}{2x^2-3x+1}$ với $x\ne 1;x\ne \frac{1}{2}$ tại $\left|2x+1\right|=3$

c) $C=\frac{x-2}{x^2-5x+6}$ với $x\ne 2;x\ne 3$ tại $x^2-4=0$.

Lời giải:

a) $A=\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x+1}$

Với $3x-1=0$$\iff 3x=1$$\iff x=\frac{1}{3}$ (thỏa mãn điều kiện)

Thay $x=\frac{1}{3}$ vào A ta có:

$A=\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2.\frac{1}{3}-3}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+2.\frac{1}{3}+1}$

$A=\frac{\frac{1}{9}-\frac{2}{3}-3}{\frac{1}{9}+\frac{2}{3}+1}=\frac{-\frac{32}{9}}{\frac{16}{9}}=-2$

Vậy khi 3x – 1 = 0 thì A = -2.

b) Ta có:

$\left|2x+1\right|=3$

$TH1:2x+1=3$

$\iff 2x=3-1$

$\iff 2x=2$

$\iff x=1$ (không thỏa mãn)

$TH2:2x+1=-3$

$\iff 2x=-3-1$

$\iff 2x=-4$

$\iff x=-2$ (thỏa mãn)

 Thay x = -2 vào B ta được

$B=\frac{{\left(-2\right)}^2-1}{2.{\left(-2\right)}^2-3.\left(-2\right)+1}=\frac{1}{5}$

Vậy với $\left|2x+1\right|=3$thì  B = $\frac{1}{5}$.

c) Ta có:

$x^2-4=0$$\iff x^2=4$$\iff \left[\begin{array}{l}x=2\text{ (ktm)}\\ x=-2\text{ (tm)}\end{array}\right.$

Với x = -2 thay vào C ta có

$C=\frac{-2-2}{{\left(-2\right)}^2-5.\left(-2\right)+6}=\frac{-1}{5}$

Vậy với $x^2-4=0$ thì C = $\frac{-1}{5}$.

Ví dụ 2: Cho 3x – y = 6. Tính giá trị biểu thức $A=\frac{y}{x-2}+\frac{2y-3x}{y-6}$.

Lời giải:

Điều kiện: $x\ne 2;y\ne 6$

Ta có: 3x – y = 6$\Rightarrow$y = 3x – 6  thay vào A ta được:

$A=\frac{3x-6}{x-2}+\frac{2\left(3x-6\right)-3x}{3x-6-6}$

$A=\frac{3\left(x-2\right)}{x-2}+\frac{6x-12-3x}{3x-12}$

$A=3+\frac{3x-12}{3x-12}$

$A=3+1=4$

Vậy với 3x – y = 6 thì A = 4.

III.Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính giá trị phân thức:

a) $\frac{4x^2+3x-1}{x^2-8x+7}$tại $x=\frac{1}{3}$

b) $\frac{2x^3+x-2}{x-4}$tại $x=3$

c) $\frac{4x^2+y^2-3xy}{x^2-y^2}$tại $x=3;y=\frac{-1}{3}$

d) $\frac{3x^2-2x}{x^2-1}$tại $x=\frac{1}{4}$

e) $\frac{3x^2-4x+2}{x^3-3x^2+3x-1}$tại $x=\frac{-5}{2}$

f) $\frac{2x+3y+y^2}{4x^2-y^2}$tại$x=1;y=3$

Bài 2:  Tính giá trị phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) $\frac{2x-3}{x^2+1}$ tại 3x – 2 =5

b) $\frac{4x^2-3x+1}{x^2-2x+1}$ với $x\ne 1$tại $\left|2x+3\right|=5$

c) $\frac{4x+1-x^2}{2x+3}$với $x\ne \frac{-3}{2}$tại $\left|3x-7\right|=4$

Bài 3: Tính giá trị phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) $\frac{2x+1-x^3}{2x-4x^2}$ với $x\ne 0;x\ne \frac{1}{2}$tại $x^2-3x+2=0$

b) $\frac{x+6}{4x^2-1}$với $x\ne \pm \frac{1}{2}$tại $2x^2-9x+10=0$

Bài 4: Với giá trị x thỏa mãn $2x^2-7x+3=0$, tính giá trị biểu thức:

a) $\frac{x^2-2x+1}{2x^2-x-1}$

b) $\frac{x^3-27}{x^2-2x-3}$

Bài 5: Cho biểu thức:

$Q=\frac{x^2+10x+25}{x+5}$

a) Tìm điều kiện xác định của Q.

b) Rút gọn Q.

c) Tính Q khi x = 13.

Bài 6: Cho biểu thức:

$C=\left(\frac{2x-x^2}{2x^2+8}-\frac{2x^2}{x^3-2x^2+4x-8}\right).\left(\frac{2}{x^2}-\frac{x-1}{x}\right)$

a) Tìm điều kiện của biểu thức C.

b) Rút gọn C.

c) Tính C khi x = 2017.

Bài 7: Tính giá trị phân thức $\frac{x^2-9y^2}{15x+45y}$biết 3x – 9y = 1.

Bài 8: Tính giá trị phân thức $A=\frac{x-y}{x+y}$biết  $3x^2+3y^2=10xy$ và $y>x>0$.

Bài 9: Cho hai số x, y thỏa mãn $4x^2-4xy+y^2=0$với $x\ne y$. Tính $P=\frac{x+y}{x-y}$.