50 bài tập về tính chất cơ bản của phân thức (có đáp án 2023) - Toán 8

Tính chất cơ bản của phân thức đầy đủ, chi tiết - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A.M}{B.M}$(với $\frac{A}{B}$ là phân thức; B, M $\ne$  0)

- Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của tử và mẫu ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=\frac{A:N}{B:N}$(với N là nhân tử chung của A và B; B, N $\ne$ 0)

- Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức đã cho thì ta được phân thức mới bằng phân thức ban đầu.

$\frac{A}{B}=\frac{-A}{-B}$(với B$\ne$ 0)

- Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu của phân thức và đồng thời đổi dấu phân thức ta được phân thức mới bằng phân thức đã cho.

$\frac{A}{B}=-\frac{-A}{B}=-\frac{A}{-B}$(với B$\ne$ 0)

II. Các ví dụ

Ví dụ 1: Trong các trường hợp sau, tìm đa thức M phù hợp:

a) $\frac{3x^2+6x}{\left(x-1\right)M}=\frac{3x}{x-1}$ với $x\ne -2;x\ne 1$ .

b)$\frac{-2x^2+4xy-2y^2}{x+y}=\frac{M}{x^2-y^2}$ với $x\ne \pm y$ .

c)$\frac{x+1}{M}=\frac{x^2-2x+4}{x^3+8}$ với $x\ne -1;x\ne -2$ .

Lời giải:

a) Ta có:

$\frac{3x^2+6x}{\left(x-1\right)M}=\frac{3x\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)M}$

Vì $\frac{3x^2+6x}{\left(x-1\right)M}=\frac{3x}{x-1}$ do đó:

$\frac{3x\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)M}=\frac{3x}{x-1}$

$\iff \frac{3x\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)M}=\frac{3x\left(x+2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$

$\Rightarrow M=x+2$ với $x\ne -2;x\ne 1$

b) Ta có:

$\frac{-2x^2+4xy-2y^2}{x+y}=\frac{-2\left(x^2-2xy+y^2\right)}{x+y}=\frac{-2{\left(x-y\right)}^2}{x+y}$

$\frac{M}{x^2-y^2}=\frac{M}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}$

Vì $\frac{-2x^2+4xy-2y^2}{x+y}=\frac{M}{x^2-y^2}$ nên:

$\frac{-2{\left(x-y\right)}^2}{x+y}=\frac{M}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}$

 $\Rightarrow -2{\left(x-y\right)}^2=\frac{M}{x-y}$ (do x ≠ -y nên ta nhân cả hai vế với x + y)

$\Rightarrow M=-2{\left(x-y\right)}^2\left(x-y\right)=-2{\left(x-y\right)}^3$ với $x\ne \pm y$ .

c) Ta có:

$\frac{x^2-2x+4}{x^3+8}=\frac{x^2-2x+4}{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}=\frac{1}{x+2}$

Vì $\frac{x+1}{M}=\frac{x^2-2x+4}{x^3+8}$ nên: $\frac{x+1}{M}=\frac{1}{x+2}$

$\Rightarrow M=\left(x+2\right)\left(x+1\right)$ với $x\ne -1;x\ne -2$ .

Ví dụ 2: Tính giá trị phân thức

$A=\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x+1}$với $x\ne -1$  tại $3x-1=0$ .

Lời giải:

$A=\frac{x^2-2x-3}{x^2+2x+1}$

$\iff A=\frac{x^2-3x+x-3}{{\left(x+1\right)}^2}$

$\iff A=\frac{x\left(x-3\right)+\left(x-3\right)}{{\left(x+1\right)}^2}$

$\iff A=\frac{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}$

$\iff A=\frac{x-3}{x+1}$

Với $3x-1=0$

$\iff 3x=1$

$\iff x=\frac{1}{3}\left(tm\right)$

Thay $x=\frac{1}{3}$  vào A ta có:

$A=\frac{\frac{1}{3}-3}{\frac{1}{3}+1}=\frac{\frac{-8}{3}}{\frac{4}{3}}=-2$

Vậy A = -2 khi 3x – 1 = 0.