50 bài tập về công thức quy đồng mẫu thức (có đáp án 2023) - Toán 8

Công thức quy đồng mẫu thức hay, chi tiết - Toán lớp 8

I. Lý thuyết

1. Khái niệm

Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức ban đầu thành những phân thức mới với mẫu thức giống nhau.

2. Các bước quy đồng mẫu thức

a) Các bước tìm mẫu thức chung

Bước 1: Phân tích từng mẫu thức thành nhân tử

Bước 2: Chọn ra các nhân tử chung và nhân tử riêng của từng mẫu thức

Bước 3: Nhân các nhân tử chung và các nhân tử riêng có số mũ lớn nhất lại với nhau ta được mẫu thức chung.

b) Các bước quy đồng mẫu thức

Để quy đồng mẫu thức ta làm các bước sau đây

Bước 1: Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

Bước 2: Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

II. Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm mẫu thức chung của các phân thức sau:

a) $\frac{1}{5x^3{y}^2}$  và $\frac{1}{15x^2{y}^4}$  với $x\ne 0;y\ne 0$ .

b) $\frac{6x^2}{x^3-5x^2}$  và $\frac{3x^2+15x}{x^2-25}$  với $x\ne 0;x\ne \pm 5$ .

Lời giải:

a) Ta có:

$15x^2{y}^4=\mathrm{3.5.}{x}^2.y^4$

$5x^3{y}^2$=$5x^3{y}^2$

Mẫu thức chung của hai phân thức là: $15x^3{y}^4$ với $x\ne 0;y\ne 0$ .

b) Ta có:

$x^3-5x^2=x^2\left(x-5\right)$

$x^2-25=\left(x-5\right)\left(x+5\right)$

Mẫu thức chung của hai phân thức trên là: $x^2\left(x-5\right)\left(x+5\right)$  với $x\ne 0;x\ne \pm 5$ .

Ví dụ 2: Quy đồng mẫu thức mỗi phân thức sau:

a) $\frac{2x^2}{x^3+6x^2+12x+8};$ $\frac{3x}{x^2+4x+4};$  $\frac{5}{2x+4}$  với $x\ne -2$ .

b) $\frac{6x^2-5x+11}{x^3-1};$ $\frac{3x}{x^2+x+1};$ $\frac{7}{x-1}$ với $x\ne 1$ .

Lời giải:

a) Ta có:

$x^3+6x^2+12x+8={\left(x+2\right)}^3$

$x^2+4x+4={\left(x+2\right)}^2$

$2x+4=2\left(x+2\right)$

Khi đó mẫu thức chung của ba phân thức là: $2{\left(x+2\right)}^3$

Ta có:

$\frac{2x^2}{x^3+6x^2+12x+8}=\frac{2x^2}{{\left(x+2\right)}^3}=\frac{2x^2.2}{2{\left(x+2\right)}^3}=\frac{4x^2}{2{\left(x+2\right)}^3}$;

$\frac{3x}{x^2+4x+4}=\frac{3x}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{3x\mathrm{.2.}\left(x+2\right)}{2{\left(x+2\right)}^3}=\frac{6x\left(x+2\right)}{2{\left(x+2\right)}^3}=\frac{6x^2+12x}{2{\left(x+2\right)}^3}$;

$\frac{5}{2x+4}=\frac{5}{2\left(x+2\right)}=\frac{5.{\left(x+2\right)}^2}{2{\left(x+2\right)}^3}$.

b) Ta có:

$x^3-1=\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)$

Khi đó mẫu thức chung của ba phân thức là $\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)$

Ta có:

$\frac{6x^2-5x+11}{x^3-1}=\frac{6x^2-5x+11}{\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}$;

$\frac{3x}{x^2+x+1}=\frac{3x\left(x-1\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{3x^2-3x}{\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}$;

$\frac{7}{x-1}=\frac{7\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}=\frac{7x^2+7x+7}{\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}$.